Final 05/12/2011

T1) Defina conjunto de nivel de un campo escalar. Analice si el conjunto de nivel 3 de f(x,y,z) = 2 + e^{z-xy-1} tiene algún punto donde el plano tangente resulta paralelo al plano xy.

T2) Defina función potencial de un campo vectorial. Analice si \vec{f}(x,y) = \frac{ (-4y, 4x) }{ x^2 + y^2 } admite función potencial en \mathbb{R}^2 - \{ \vec{0} \}.

E1) Dado \vec{f}(x,y,z) = (xe^{x+z-2}, z, x), calcule la circulación de \vec{f} desde (0,4,2) hasta (2,0,0) a lo largo de la curva definida por la intersección de las superficies de ecuaciones x+z=2 e y = 4-x^2 en el 1º octante.

E2) Calcule el volumen del cuerpo definido por (x-1)^2 + y^2 \leq z \leq 5-2x.

E3) Si \vec{X} = \vec{h}(t) es la posición de un punto P en función del tiempo t, su velocidad es \vec{v} = \vec{h}'(t). Calcule la velocidad de P en el instante t_0 = 2, sabiendo que P se desplaza sobre la superficie de ecuación z=f(x,y), que \nabla f(x,y) = (2xy, x^2+y) y que la proyección de su movimiento en el plano xy sigue la trayectoria dada por \vec{X} = (2t, 3t^2, 0).

E4) Calcule el flujo de \vec{f} a través de la superficie abierta de ecuación x^2 + y^2 = 2x con z \leq 4-x^2-y^2 en el 1º octante, siendo \vec{f}(x,y,z) = (xy,x,xz). Indique gráficamente cómo ha orientado la superficie.

(Ando sin escáner por eso copié el enunciado)
Respuestas:

T1) El único punto es P=(0,0,1)

T2) No admite función potencial (por ejemplo, la circulación sobre la circunferencia unitaria centrada en el origen da 8\pi \neq 0)

E1) \frac{-8}{3}

E2) 8\pi

E3) h'(2) = (2,12,528)

E4) \frac{8}{3} Sugerencia: Conviene en cartesianas y proyectar sobre el plano xz. Parametrizando el cilindro se complica mucho.

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25 respuestas a Final 05/12/2011

  1. Jesica dijo:

    Muchas gracias!

  2. sergio dijo:

    Hola dami una consulta, todos los resutlados coinciden con mi planteo, pero en el ultimo me esta quedando negativo, mismo numero pero negativo, parametrize como

    g(x,z)=(x,\sqrt(2x-x^2),z)

    el vector normal lo tome haciendo

    n= g'_x \times g'_z

    y ahi tengo la falla me parece ya que si lo tomo como

    n= g'_z \times g'_z

    llego perfectamente al resultado, ¿ se puede ver analiticamente como determinar que la normal quede en sentido positivo ??

    ¿cual seria el metodo?

    • dami dijo:

      Hola Sergio,
      Había un par de errores de parseo de latex que corregí en tu comentario. Igual en la tercer expresión creo que quisistes poner n = g'_z \times g'_x.

      Que te quede con el signo cambiado no implica que esté mal, sino símplemente que tomastes la orientación en el sentido contrario al que tomé yo. Por eso pide que grafiques el sentido que tomastes para la normal, podés elegir la que quieras.

      En \mathbb{R}^3 no hay un “sentido positivo” para cada versor normal. (Sólo la regla de la mano derecha, pero que acá no usamos, lo usamos con el teorema de Stokes). (O, si la superficie es cerrada, se considera positivo al “saliente”, pero en este caso la superficie es abierta.)

      Así que respecto a eso no te hagás problema, seguro que está bien igual aunque te haya dado negativo. Eso sí, tenés que darte cuenta (gráficamente) hacia que lado tomastes el vector normal. Símplemente calculalo en algún punto cualquiera de la superficie y graficalo. (Sería hacia “afuera” del cilindro, o hacia “adentro”, aunque el cilindro no es cerrado, se entiende lo que queremos decir).

    • sergio dijo:

      gracias dami, era un error de tipeo 😛 entiendo perfectamente tu explicacion, muchas gracias, te paso mi resolucion, espero este bien conceptualmente y salgan todas las formulas 😉

      T1) Conjuntos de nivel se componen de curvas de nivel y superficies de nivel

      a) Curvas de nivel: Dada f:H\subseteq{R^2}\longrightarrow{R}\quad k\in{R} se definine curva de nivel k de f a

      C_k=\left\{\bar{x}\in{R^2}/f(x,y)=k\right\}

      b) Superficies de nivel: Dada f:H\subseteq{R^3}\longrightarrow{R}\quad k\in{R} se definine superficie de nivel k de f a

      S_k=\left\{\bar{x}\in{R^3}/f(x,y,z)=k\right\}

      Para el ejercicio necesitamos b)

      S: f(x,y,z)=2+exp(z-xy-1)=3\Longrightarrow{z-xy-1=0}

      los puntos que pertenecen a S son de la forma

      A=(x_0,y_0,1+x_0y_0)

      defino F(x,y,z)=z-xy-1\Longrightarrow{\nabla F=(-y,-x,1)|_A=(-y_0,-x_0,1)}

      con la condicion de que \alpha\nabla F=\vec{u}\quad \vec{u}=(0,0,1) obtengo el punto A=(0,0,1) [hr]

      T2) \exists{U:H\subset{R^n\longrightarrow{R}}} funcion escalar talque U\in{C^1}: \nabla U=f llamada funcion potencial si y solo si

      f es campo de gradientes ( conservativo )

      a) condicion necesaria: \nabla f simetrico, lo que implica que \dfrac{df}{dy}=\dfrac{df}{dx}

      se cumple la condicion necesaria

      b) condicion suficiente: el dominio es multiplemente conexo entonces w=\displaystyle\oint_c fds=0

      tomando la curva x^2+y^2=1 parametrizando como g:R\longrightarrow{R^2}/g(t)=(\cos t,\sin t)\quad t\in{0,2\pi}

      no se cumple la condicion suficiente, por lo tanto f no admite funcion potencial [hr]

      E1) parametrizo

      g:R\longrightarrow{R^3}/g(x)=(x,4-x,2-x) \quad x\in{[0,2]} por definicion

      w=\displaystyle\oint_c fds=\displaystyle\int_{a}^{b} f(g(x))g'(x)dx=-\dfrac{8}{3} [hr]

      E2) lo calculo mediante una doble

      V=\displaystyle\iint_{P_{xy}}\left(\displaystyle\int_{(x-1)^2+y^2}^{5-2x}dz\right)dxdy=-\displaystyle\iint_{P_{xy}}x^2+y^2-4dxdy

      tomando polares

      g:R^2\longrightarrow{R^2}/g(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\quad \nabla g=r\Longrightarrow{-\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\displaystyle\int_{0}^{2}r(r^2-4)=8\pi} [hr]

      E3)

      del gradiente de f podemos obtener la funcion z con la condicion \nabla f=z con lo cual

      \displaystyle\int 2xydx=x^2y+T(y)\quad \displaystyle\int x^2+ydy=x^2y+\dfrac{y^2}{2}+T(x)

      z=x^2y+\dfrac{y^2}{2}+k finalmente la parametrización de la curva sobre la cual se mueve la particula es

      h:R\longrightarrow{R^3}/h(t)=\left(2t,3t^2,\dfrac{33}{2}t^4+k\right)

      derivando obtenmos que h'(2)=(2,12,520) [hr]

      E4) por definicion

      \varphi=\displaystyle\int_C f\hat{n}ds , por divervencia hay que restarle las tapas, el enunciado solo nos

      pide el flujo a travez de la superficie abierta
      x^2+y^2=2x , y como solo esta en el primer octante, nos conviene tomar la parametrizacion

      g:R^2\longrightarrow{R^3}/g(x,z)=(x,\sqrt{2x-x^2},z) operando de manera conveniente n=\left(\dfrac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}},-1,0\right)

      \varphi=\displaystyle\int_C f\hat{n}ds=\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{4-2x}dzdx=-\dfrac{8}{3}

      agradezco tus criticas al respecto

    • sergio dijo:

      en la ultima integral me olvide el -x^2 la integral correcta es

      \varphi=\displaystyle\int_C f\hat{n}ds=\displaystyle\int_{0}^{2}\displaystyle\int_{0}^{4-2x}-x^2 dzdx=-\dfrac{8}{3}

  3. Fede dijo:

    Buenas, respecto al 1er ejercicio, parametrizaron la curva eligiendo a X como parametro.
    Según el enunciado, una de las superficies intersección de la curva es y=4-x^2 (perdón que no use el LaTex, no estoy familiarizado), por lo tanto, si eligo a “x” como parámetro la componente y es cuadrática y no lineal como en la resolución de Sergio.
    Por favor, me gustaría saber en donde estoy equivocado, ya que el resultado final cambia.
    Gracias !

    • Fede dijo:

      Disculpen, tuve un error y ya me di cuenta en donde.

    • dami dijo:

      Hola Fede,
      Yo no leí en detalle la solución de Sergio, pero me fijé y tenés razón, me parece que tipeó mal la parametrización y en lugar de
      g(x) = (x, 4-x, 2-x)
      quiso poner
      g(x) = (x, 4-x^2, 2-x)
      No se cual es el error que decís que tuvistes, pero eso está bien.

    • Fede dijo:

      Claro, tipeó mal pero hizo bien el ejercicio, yo copié mal la parametrización de un renglón a otro en mi hoja y me dio cualquier cosa. Espero que una boludes así no me pase en el final mañana.
      Gracias a todos por el aporte !

  4. Kevin dijo:

    Hola que tal. Estoy con la misma pregunta que hace Fede arriba.
    Si elijo x para parametrizar la curva. Me daría g(t) = (t, 4-t^2, 2-t), yendo de t=2 a t=0)

    A esto, agrego otra pregunta. Hay alguna diferencia si realizo el ejercicio parametrizando eligiendo z? quedando g(t) = (2-t,4t-t^2,t) (en este caso iría de t=0 a t=2)
    Me da distinto el resultado final, y no le encuentro la vuelta de saber por qué.

    Desde ya muchas gracias!

    • sergio dijo:

      Si disculpen fue un error de tipeo la parametrizacion correcta es al que corrige damian, lo tengo bien en el papel pero al subirlo aca se me paso elevar al cuadrado x
      Kevin el resultado no deberia variar sea cual sea la variable que eligas como parametro, el enunciado dice desde A hasta B por eso yo tomo como t desde 0 a 2, si tomas z seria desde 2 a 0, que resultado te dio a vos ???

    • dami dijo:

      Hola Kevin,
      Una observación importante: si tomás la parametrización
      g_1(t) = (t, 4-t^2, 2-t)
      entonces tenés que ir de t=0 a t=2 y no al revés (recordá que A = (0,4,2) y B=(2,0,0) son los puntos inicial y final del recorrido).
      Si parametrizás como
      g_2(t) = (2-t, 4t-t^2, t)
      sí que tenés que ir “al revés”: o reparametrizás para cambiar la orientación, o le cambiás el signo a la integral.
      Es decir, si lo resolvés llendo de 0 a 2 ta va a quedar 8/3 en vez de -8/3, me explico?

      PD: Gracias Sergio por tu ayuda.

  5. fede dijo:

    hola que tal, como es el ejercicio E4) ??.No entiendo como lo hizo damian

    • sergio dijo:

      Hola lo hice aplicando la definicion que expresa que si la superficie esta representada en forma parametrica como

      g: R^2\rightarrow R^3/g(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))
      entonces el vector normal se puede representar como el producto vectorial de los vectores elementales

      n=g'_u\times g'_v

      lo unico que hago es parametrizar el cilindro x^2+y^2=2x despejando y, despues en la otra ecuacion simplemente la expreso como funcion de la paramtrizacion

      z < 4-x^2-y^2=4-x^2-(\sqrt{2x-x^2})^2=4-2x lo ves???

      de ahi obtengo los limtes de integracion que pongo en la respuesta que postee

      saludos

  6. Pablo dijo:

    Hola!

    Te hago una consulta acerca del ejercicio T2.

    Yo uso la condicion necesaria y suficiente para que un campo vectorial f admita funcion potencial la cual es que su matriz jacobiana sea simetrica.

    En este caso me da simetrica, por lo que admitiria funcion potencial en su dominio (R^2 – (0) ).

    ¿Es correcto? ¿O como las derivadas parciales no son continuas ya no admite funcion potencial?

    No me queda muy claro.

    Muchas gracias saludos!

    • dami dijo:

      Hola Pablo,
      Que la matriz jacobiana sea contínua y simétrica en su dominio es sólo una condición necesaria para que exista función potencial.
      Sería suficiente si además el dominio fuera un conjunto simplemente conexo, en ese ejercicio cumple la necesaria pero no la suficiente, así que hay que seguir analizando.
      Resulta que a pesar de cumplir la necesaria no admite función potencial. Una forma de probarlo es haciendo la circulación sobre una circunferencia centrada en el origen. Si dicha circulación no da cero, el campo no es conservativo, es decir que no existe función pontencial.
      Saludos,
      Damián.

  7. Pablo dijo:

    Damian, muchisimas gracias por la respuesta!

    Entonces para resumir:

    La condicion necesaria y suficiente para que f admita funcion potencial es que este definida en un recinto simplemente conexo y su matriz jacobiana sea simetrica.

    ¿Asi estaría bien no?

    Ahora ¿puedo justificar que no admite funcion potencial directamente porque el recinto no es simplemente conexo? ¿o al no ser simplemente conexo no puedo asegurar nada y debo justificar obligatoriamente con una curva cerrada?

    Nuevamente muchas gracias!

    Pablo.

    • dami dijo:

      Hola Pablo,
      Copio esto que escribistes: “La condicion necesaria y suficiente para que f admita funcion potencial es que este definida en un recinto simplemente conexo y su matriz jacobiana sea simetrica.”

      Eso es falso. Es sólo la condición necesaria, pero no es suficiente.

      Copio esto otro que escribistes: “¿puedo justificar que no admite funcion potencial directamente porque el recinto no es simplemente conexo?”

      No. Como bien afirmás después, con eso no podés asegurar nada. Por eso se hace la circulación sobre la curva cerrada.

      Saludos,
      Damián.

  8. Martin dijo:

    Hola Damian,

    Te queria consultar una duda, la cual es que en la primer respuesta que le diste a Pablo decis que para que f admita funcion potencial la condicion necesaria y suficiente es que su matriz jacobiana tiene que ser continua, simetrica en su dominio y este debe ser un conjunto simplemente conexo. (Segun yo tenia entendido esto es correcto y hay un Teorema al respecto).

    Pero luego Pablo dice: ” La condicion necesaria y suficiente para que f admita funcion potencial es que este definida en un recinto simplemente conexo y su matriz jacobiana sea simetrica.” Y le respondes que es Falso, eso es solo una condicion necesaria pero no suficiente. Entonces la pregunta que hago es ¿Que faltaria agregar a la ultima respuesta de Pablo para poder convertir su condicion necesaria en una condicion suficiente?

    Desde ya muchas gracias!

    Saludos!

    • dami dijo:

      Hola Martín,
      Para que exista función potencial una condición necesaria es que la matriz jacobiana sea contínua y simétrica. Si eso no se cumple no hay potencial, si eso se cumple puede que haya o que no.

      Si el dominio es símplemente conexo (y se cumple la necesaria) es suficiente (hay función potencial)

      Si el dominio no es símplemente conexo (y se cumple la necesaria), puede que haya o puede que no.

      Para averiguarlo tenés que hacer una circulación sobre cada hueco del dominio y ver si todas dan cero.

      Saludos,
      Damián.

    • dami dijo:

      A ver, la confusión viene porque si se cumple
      (1) la matriz es contínua y simétrica
      (2) el dominio es símplemente conexo

      entonces hay función potencial, pero no es la condición necesaria y suficiente porque aunque no se cumpla la (2) puede que también haya función potencial. (la 2 no es necesaria)

      Sé que es confuso, pero pensalo y si no te queda claro volvé a preguntar.

  9. Martin dijo:

    Damian muchas gracias.

    Lo tuvue que pensar un poco pero al final termino cerrando todo. Me quedo todo claro.

    Saludos,

    Martin.

  10. Jorge dijo:

    Que tal?!
    En el ejericio 4 (flujo) haciendo lo que se propone llego bien al resultado. Mi duda es la siguiente: Cual es la razon por la que no se puede calcular el flujo con Gauss?. Se que dice que la superficie es abierta en el enunciado. Pero yo plantee cerrarla con la Proyeccion(xy) de S por abajo y la Proyeccion(xz) a la izquierda de modo que me tengo un volumen K. Entonces si quiero plantear: Flujo(Pr(xy)) de f + Flujo(Pr(xz)) de f + Flujo(S) de f =VolumenK (div(f)).
    Luego de calcular cada flujo (respetando la orientación hacia afuera de la normal) y el volumen para despejar el Flujo(S) de f, obtengo un resultado no coincidente con 8/3: Flujo(S)=5,40096 + 4 +π/2.
    Muchas gracias de antemano!

    • dami dijo:

      Hola Jorge,
      Se puede usar Gauss restando las tapas, el problema es que es mucho más difícil (más cuentas), porque no es fácil agregar “una sola tapa”. Tu notación es un poco ambigua sobre las tapas, parece que agregastes 2 tapas (abajo y a la izquierda), con esa idea te están faltando las tapas de atrás y arriba (el techo), o sea 4 tapas en total. También se podría hacer tomando 3 tapas (piso, techo, y una “pared inclinada”). Pero como verás, es mucho más trabajo que calcularlo en forma directa.
      Saludos,
      Damián.

      • Jorge dijo:

        Dale, me quedó claro Damián. muchas gracias por responder. Disculpa la notación, no pude escribirlo usando latex ya que estoy con las justas con el tiempo. saludos! Te felicito por la página, sería ideal promocionarla un poco más en la facu, ya que en mi caso por ejemplo, la conocí recién en el final de mi cursada.

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