Escuela de verano 2012 y Finales

La escuela de verano 2012 comenzará el día 30 de Enero de 2012 y finalizará el día 9 de Marzo de 2012.

Durante el mismo voy a estar a cargo de uno de los cursos de análisis 2 (nuevamente). El dictado de clases será de lunes a viernes a las 18:30hs en Campus, aula a confirmar.

Por otro lado, las fechas de final de análisis 2 de febrero son:

  1. 17/02/2012
  2. 24/02/2012
  3. 02/03/2012

Todas a las 19hs en Campus.

Final 19/12/2011

Respuestas:

T1) \int_{-\pi/4}^{\pi/4} d\phi \int_0^{ \frac{1}{\cos(\phi)} } f(\rho \cos(\phi), \rho\sin(\phi) ) \rho d\rho

T2) Se justifica mencionando el teorema de Schwartz y el hecho de que f admite una función potencial \phi \in C^2

E1) \frac{9}{2}

E2) La divergencia del campo es 4x^2, el flujo sobre la tapa es cero. Las cuentas sobre la integral triple eran complicadas, a mí me parece que la forma más sencilla es planteando en esféricas y luego aplicando una transformación lineal, todo junto la transformación sería
x = \frac{1}{2} \rho \cos(\phi) \sin(\alpha)
y = \rho \sin(\phi) \sin(\alpha)
z = \rho \sin(\alpha)
Con jacobiano |det(DT)| = \frac{1}{2} \rho^2 \sin(\alpha)
Queda 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \int_0^{2\pi} \cos^2(\phi) d\phi \int_0^{\pi/2} \sin^3(\alpha) d\alpha \int_0^1 \rho^4 d\rho = \frac{\pi}{15}

E3) f(x,y) = xy + 2x + y + 5,
\hat{r}_{max} = \frac{1}{\sqrt{5}} (2,1)
f'((0,0), \hat{r}_{max}) = \sqrt{5}

E4) Los puntos críticos son (0,2) (silla), (0,-2) (silla), (2/3,0) (corresponde al mínimo relativo) y (-1,0) (corresponde al máximo relativo).
Entonces A=(-1,0,3) y B=(2/3, 0, -44/27)
Y finalmente h(B) - h(A) = -\frac{125}{3}

Final 12/12/2011

T1) Defina derivada direccional y derivadas parciales de un campo f : D \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}. Dado el versor \hat{r} = (u,v) y el punto \vec{A} = (2,1), el campo f diferenciable tiene derivada direccional f'(\vec{A}, \hat{r}) = 3u + 2v; analice si la recta normal a la superficie de ecuación z=f(x,y) en (2,1,z_0) tiene algún punto en común con el eje z.

T2) Defina solución general (SG) y solución particular de una ecuación diferencial ordinaria de orden n. Sabiendo que y=C_1 + C_2 e^{-2x} es la SG de y'' + by' + cy = 0, halle la SG de y'' + by' + cy = 6.

E1) La ecuación xz + e^{z-2y} - 7 = 0 define implícitamente a la superficie \Sigma en un entorno de \vec{A} = (3,1,z_0), siendo \pi_0 el plano tangente a \Sigma en \vec{A}, calcule el área del trozo \pi_0 en el 1º octante con y \leq 5.

E2) Calcule la masa del cuerpo definido por z \geq y^2, x+z \leq 4, 1º octante, siendo \delta(x,y,z) = kxy con k constante su densidad en cada punto.

E3) Sea D el cuerpo cuyos puntos cumplen con \sqrt{4 - x^2 - y^2} \leq z \leq 4 - x^2 - y^2, con superficie frontera \partial D. Sabiendo que \iint_{\Sigma_1} \vec{f} \cdot \hat{n} d\sigma = 12\pi siendo \Sigma_1 la porción esférica de \partial D orientada “saliente de D” y que div \vec{f}(x,y,z) = 2x, calcule el flujo de \vec{f} a través de la otra porción de \partial D e indique gráficamente cómo ha decidido orientarla.

E4) Dado \vec{f} \in C^1 tal que \vec{f}(x,y) = (g(y-x) - y^2, xy - g(y-x)), calcule la circulación en sentido positivo de \vec{f} a lo largo de la frontera de la región plana definida por: y \geq |x|, x^2+y^2 \leq 2y.

Respuestas:

T1) La recta puede parametrizarse como
r(t) = (2+3t, 1+2t, z_0 - t)
y no intersecta al eje z.

T2) La ecuación característica es (x-0)(x+2) = x^2 + 2x de donde b=2 y c=0
Una solución particular es y=3x, la SG pedida es
y=C_1 + C_2 e^{-2x} + 3x

E1) La ecuación cartesiana del plano es x - y + 2z = 6, y el área pedida es \sqrt{6} \frac{85}{4}.

Resolución:
Averiguo el valor de z_0, el mismo cumple que
3z + e^{z-2} - 7 = 0
de donde se ve que z_0 = 2

Sea F(x,y,y) = xz + e^{z-2y} - 7, entonces
\nabla F(x,y,z) = (z, -2e^{z-2y}, x + e^{z-2y})
\nabla F(3,1,2) = (2, -2, 4)

Luego la ecuación del plano tangente es
2(x-3) -2(y-1) + 4(z-2) = 0
2x -2y + 4z -6 +2 -8 =0
x -y +2z = 6
y = x+2z-6

Parametrizo \Sigma como
g : D \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3
g(x,z) = (x, x+2z-6, z)

Como debe estar en el 1º octante se cumple
x \geq 0
z \geq 0
x+2z-6 \geq 0

x + 2z \geq 6

Por ser y\leq 5 debe cumplirse
x+2z-6 \leq 5
x + 2z \leq 11

Por lo tanto el dominio de g es
D = \{ (x,z) \in \mathbb{R}^2 : x,z \geq 0, 6 \leq x+2z \leq 11 \}

g(x,z) = (x, x+2z-6, z)
g'_x = (1, 1, 0)
g'_z = (0, 2, 1)
g'_x \times g'_z = (1, -1, 2)
|| g'_x \times g'_z || = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}

Por lo tanto el area pedida es
\iint_{\Sigma} dS = \sqrt{6} \iint_D dxdy = \sqrt{6} Area(D)

Usando que el area de un triángulo es base por altura sobre 2, y restando al triángulo de afuera el triángulo de adentro da:
Area(D) = 121/4 - 9 = 85/4

Luego el area pedida es \sqrt{6} \frac{85}{4}

E2) Había muchas formas de plantear esta integral, una de ellas por ejemplo
M = k \int_0^2 y dy \int_0^{4-y^2} x dx \int_{y^2}^{4-x} dz
y daba como resultado \frac{16}{3}k

E3) El flujo sobre \Sigma_1 te lo dan como 12\pi y la divergencia sobre el cuerpo da cero, así que el flujo “saliente” (hacia “arriba”) sobre \Sigma_2 es -12\pi

E4) Salía por Green con Q'_x - P'_y = 3y. Queda una integral medio incómoda de resolver.
Igual se puede hacer de varias formas. Por ejemplo por polares común (sin trasladar), o sinó haciendo parte en cartesianas y parte en polares traladadas y usando (justificando bien) propiedades de simetría (ojo que hay que ver la simetría de la función a integrar, no sólo de la región).
En fin, planteándola en polares común terminaba quedando
3 \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \int_0^{2\sin(\phi)} \rho^2 d\rho = \frac{3}{2}\pi + 4

Final 05/12/2011

T1) Defina conjunto de nivel de un campo escalar. Analice si el conjunto de nivel 3 de f(x,y,z) = 2 + e^{z-xy-1} tiene algún punto donde el plano tangente resulta paralelo al plano xy.

T2) Defina función potencial de un campo vectorial. Analice si \vec{f}(x,y) = \frac{ (-4y, 4x) }{ x^2 + y^2 } admite función potencial en \mathbb{R}^2 - \{ \vec{0} \}.

E1) Dado \vec{f}(x,y,z) = (xe^{x+z-2}, z, x), calcule la circulación de \vec{f} desde (0,4,2) hasta (2,0,0) a lo largo de la curva definida por la intersección de las superficies de ecuaciones x+z=2 e y = 4-x^2 en el 1º octante.

E2) Calcule el volumen del cuerpo definido por (x-1)^2 + y^2 \leq z \leq 5-2x.

E3) Si \vec{X} = \vec{h}(t) es la posición de un punto P en función del tiempo t, su velocidad es \vec{v} = \vec{h}'(t). Calcule la velocidad de P en el instante t_0 = 2, sabiendo que P se desplaza sobre la superficie de ecuación z=f(x,y), que \nabla f(x,y) = (2xy, x^2+y) y que la proyección de su movimiento en el plano xy sigue la trayectoria dada por \vec{X} = (2t, 3t^2, 0).

E4) Calcule el flujo de \vec{f} a través de la superficie abierta de ecuación x^2 + y^2 = 2x con z \leq 4-x^2-y^2 en el 1º octante, siendo \vec{f}(x,y,z) = (xy,x,xz). Indique gráficamente cómo ha orientado la superficie.

(Ando sin escáner por eso copié el enunciado)
Respuestas:

T1) El único punto es P=(0,0,1)

T2) No admite función potencial (por ejemplo, la circulación sobre la circunferencia unitaria centrada en el origen da 8\pi \neq 0)

E1) \frac{-8}{3}

E2) 8\pi

E3) h'(2) = (2,12,528)

E4) \frac{8}{3} Sugerencia: Conviene en cartesianas y proyectar sobre el plano xz. Parametrizando el cilindro se complica mucho.