Final 22/09/2011

Como siempre, pueden compartir sus resultados dejando comentarios en este post.

Agrego la resolución que nos envía Sergio (ver comentarios), que está bastante bien, y algunas observaciones que agregué sobre el mismo (para ser puntillosos).

Pueden mandar consultas y correcciones, tanto sobre la resolución como sobre las observaciones que agregué.

Observaciones:

En el T1) habría que mencionar que lo que hace es válido porque la función f es diferenciable.

En el T2) Debe ser m=1 (campo escalar), \vec{A} punto interior de H, F'_z(\vec{A}) \neq 0
Cuando pone f'_x = -\frac{x}{3} |_{(2,1,2)}, por un lado no me gusta la notación (en el numerador no está evaluado y en el denominador sí), pero además en el numerador debía derivar respecto de x y deriva respecto de z. De casualidad da el mismo resultado porque en el punto x=z=2

Cuando pone z=f(x,y) = 2 - \frac{2}{3}(x-2) + \frac{1}{3}(y-1) habría que cambiar el = por un \approx (no conocemos la función, sólo el taylor de 1º orden en ese punto)

El E1) lo veo bien, verifica el resultado con el wolframalpha.

El E2) está bastante bien, habría que agregar que vale el teorema porque f \in C^1, y el resultado según el wolframalpha es 128 y no \frac{128}{5}

El E3) lo veo muy bien.

En el E4) hay que aclarar algunas cosas:
El único extremo es un mínimo local en f(2,-2) = -1
Y aclaro por las dudas que los puntos silla son (0,0,3) y (0,-4,3) (aunque no lo pedía el ejercicio)

(y hay errores de cuenta en los dos últimos hessianos, pero que no cambia sustancialmente el ejercicio)

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Tp.3 Ej.7.f

Analice la continuidad en el origen de los siguientes campos escalares

f) f(x,y) = \begin{cases} \frac{xy}{x^2 - y^2} & si \ |y| \neq |x| \\ 0 & si \ |y| = |x| \end{cases}

Solución:

Primero observo que el dominio de la función es Dm(f) = \mathbb{R}^2, y que f(0,0) = 0

Veamos que pasa si me aproximo al origen por curvas de \mathbb{R}^2 tales que |y| \neq |x|, debo usar la parte de “arriba” de la definición y el límite queda como

\displaystyle \lim_{(x,y) \to (0,0) } \frac{xy}{x^2 - y^2}

En particular veamos por rectas que pasan por el origen de la forma y=mx (con m \neq \pm 1)

\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x mx}{x^2 - m^2 x^2}

\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2 m}{x^2 (m^2 - 1)}

\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{m}{m^2 - 1} = \frac{m}{m^2 - 1}

Alcanza con ver que si m=2 la función tiende a \frac{2}{3} \neq 0 para ver que no es contínua en el origen.