Final 02/08/2011

Pongo los resultados:

T1) La integral quedaba \int_{0}^4 x dx \int_{-x}^x dy = \frac{128}{3}

T2) Quedaba
Dh = Df Dg
= \begin{pmatrix} 8 & 5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 & 13 \end{pmatrix}
o sea que
\nabla h(1,2) = (21,13)
y la mínima derivada direccional es
-||\nabla h(1,2)|| = -\sqrt{610}

E1) La SP de la EDO quedaba y = x^2 - 2x + 1, los puntos A=(0,1) y B=(2,1), la función potencial \phi(x,y) = x^2 + 2y^2 + c, y la circulación:
\phi(B) - \phi(A) = 6 - 2 = 4.

E2) El flujo (salía directo, no convenía diverencia porque la superficie es cerrada y es más difícil andar sacando la tapa) daba \frac{72}{5}
Agrego parte de la resolución:
Parametrizando la superficie como
g(x,y) = (x,y,x^2+y)
calculamos el vector normal
g'_x = (1,0,2x)
g'_y = (0,1,1)
g'_x \wedge g'_y = (-2x, -1, 1)
f(g(x,y)) = (2x, 2y, 4x^2 + 4y)
f \cdot (g'_x \wedge g'_y) = -4x^2 - 2y + 4x^2 + 4y = 2y
la integral queda entonces
2 \int_{-2}^1 dx \int_{x^2}^{2-x} y dy = \frac{72}{5}
(verifica con el wolfram alpha)

E3) Salía con coordenadas cilíndricas (con esféricas es más difícil de lo que parece porque el radio no queda constante, a lo mejor con alguna variante estilo coordenadas “elipsoidales” también sale fácil). La integral quedaba
\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^2 \rho d\rho \int_{\rho}^{\sqrt{6-\frac{\rho^2}{2}}} dz
El resultado es (8\sqrt{6} - 16) \pi \approx 11,2969\ldots
(verifica con el wolfram alpha)

En la siguiente imagen se ve la parte del elipsoide en rojo (el “techo”), la parte del cono en azul (el “piso”), y grafiqué también una parte de como seguiría el elipsoide en verde.


draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color="blue",
parametric_surface(u*cos(v),u*sin(v),u, u,0,2, v,0,2*%pi),
color="red",
parametric_surface(u*cos(v),u*sin(v), sqrt(6-u^2/2), u,0,2, v,0,2*%pi),
color="green",
parametric_surface(sqrt(12)*cos(v)*sin(w), sqrt(12)*sin(v)*sin(w), sqrt(6)*cos(w), v,0,2*%pi*0.75, w,0,%pi/2)
);

E4) La curva queda parametrizada como g(t) = (2t, t^2, 2t^3), el plano queda x+y+3z=9 y el área pedida \frac{27}{2}\sqrt{11}

Agrego parte de la resolución:
Voy a usar el método de integrar superficies usando una función definida en forma implícita (y proyectando en el plano xy), aunque también se puede hacer parametrizando.
Defino G(x,y,z) = x+y+3z-9 entonces
\nabla G = (1,1,3), y G'_z = 3
el normal buscado (con la norma del diferencial de área) es
N = \frac{ \nabla G}{G'_z} = \left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, 1 \right)
y su norma es
|| N || = \frac{\sqrt{11}}{3}
entonces la integral queda
\frac{\sqrt{11}}{3} \int_0^9 dx \int_0^{9-x} dy = \frac{27}{2}\sqrt{11}