Tp.1 Ej.13

Lunes, junio 6th, 2011

a) Determine a de manera que las familias y^3 = Ax y x^2 + ay^2 = B^2 sean ortogonales.

b) Sea \mathfrak{I} la familia de curvas tales que su recta normal en cada punto es tangente a la parábola de ecuación y=kx^2 que pasa por dicho punto. Halle la curva C \in \mathfrak{I} que pasa por (0,1).

Solución:

a)
Las familias de curvas son
y^3 = Ax
x^2 + ay^2 = B^2

derivando la primera
3 y^2 y' = A
multiplicando por x y reemplazando
3x y^2 y' = y^3

derivando la segunda
2x + 2ay y' = 0
dividiendo por 2
x + ay y' = 0

por lo tanto las ecuaciones diferenciales asociadas son
3x y^2 y' - y^3 = 0
x + ay y' = 0

cambio y' por \frac{-1}{y'} en la segunda
xy' - ay = 0
multiplico por 3 y^2
3x y^2 y' - 3ay^3 = 0
igualando con la primera
3x y^2 y' - 3ay^3 = 3x y^2 y' - y^3
3a = 1
a = \frac{1}{3}


b) Sea \mathfrak{I} la familia de curvas tales que su recta normal en cada punto es tangente a la parábola de ecuación y=kx^2 que pasa por dicho punto. Halle la curva C \in \mathfrak{I} que pasa por (0,1).

Como la recta normal a la curva es tangente a la parábola, buscamos la familia de curvas perpendicular a la familia:
y=kx^2

derivando
y' = 2kx
xy' = 2kx^2
la EDO asociada es
xy' = 2y

cambio y' por \frac{-1}{y'}
-x = 2y y'
resuelvo
2yy' = -x
es de variables separables
\int 2y dy = \int -x dx
y^2 = -\frac{x^2}{2} + c
2y^2 + x^2 = c

como pasa por (0,1)
2 = c
por lo tanto, la curva buscada es

x^2 + 2y^2 = 2
que es una elipse centrada en el origen de coordenadas.

Una observación interesante sobre este ejercicio es que el punto (0,1) en realidad no pertenece a la primera familia de curvas:
y = kx^2
pues al reemplazar quedaría
1 = k 0
1=0
lo cual es absurdo. Pero podemos pensarlo como un caso límite, es decir en la medida que tomamos cada vez k mayores, obtenemos curvas que pasan cada vez “mas cerca” de (0,1), y el caso límite correspondería a la semirecta que corresponde al eje y con y > 0. En ese caso la elipse y esta recta se cortan perpendicularmente, como era de esperar.

En el siguiente gráfico podemos ver la curva pedida en azul, algunas curvas de la familia original en verde, y las rectas tangente y normal a la curva pedia en el punto (0,1)


draw2d(
color=blue,
parametric(sqrt(2)*cos(t), 1*sin(t), t,0,2*%pi),
color=orange,
parametric(t,1*t^2, t,-1,1),
parametric(t,2*t^2, t,-0.75,0.75),
parametric(t,4*t^2, t,-0.5,0.5),
color=black,
parametric(0,t, t,0,1.25),
color=black,
parametric(t,1, t,-1.25,1.25)
);

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2 comentarios el “Tp.1 Ej.13

  1. Jesica dice:

    Hola, no entiendo del punto b) este paso, “Como la recta normal a la curva es tangente a la parábola, buscamos la familia de curvas perpendicular “. Por que buscamos la flia perpendicular y no directamente la que da derivando la parabola? Porque la normal de la curva original es ortogonal a la tangente de la parabola.

    • dami dice:

      Hola Jesica,
      La clave está en que te habla de la recta normal, no de la recta tangente. Por eso no es diréctamente la que da derivando la parábola.
      La normal de la “curva original” (la que estamos buscando) es tangente a la parábola (lo dice el enunciado). Cuidado que la normal no es ortogonal a la tangente de la parábola como decís en la última oración.
      (Es como un trabalenguas, pero pensalo un rato y vas a ver que tiene sentido)
      Saludos,
      Damián.

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