Archivos para junio, 2011

Tp.1 Ej.13

Lunes, junio 6th, 2011

a) Determine a de manera que las familias y^3 = Ax y x^2 + ay^2 = B^2 sean ortogonales.

b) Sea \mathfrak{I} la familia de curvas tales que su recta normal en cada punto es tangente a la parábola de ecuación y=kx^2 que pasa por dicho punto. Halle la curva C \in \mathfrak{I} que pasa por (0,1).

Solución:

a)
Las familias de curvas son
y^3 = Ax
x^2 + ay^2 = B^2

derivando la primera
3 y^2 y' = A
multiplicando por x y reemplazando
3x y^2 y' = y^3

derivando la segunda
2x + 2ay y' = 0
dividiendo por 2
x + ay y' = 0

por lo tanto las ecuaciones diferenciales asociadas son
3x y^2 y' - y^3 = 0
x + ay y' = 0

cambio y' por \frac{-1}{y'} en la segunda
xy' - ay = 0
multiplico por 3 y^2
3x y^2 y' - 3ay^3 = 0
igualando con la primera
3x y^2 y' - 3ay^3 = 3x y^2 y' - y^3
3a = 1
a = \frac{1}{3}


b) Sea \mathfrak{I} la familia de curvas tales que su recta normal en cada punto es tangente a la parábola de ecuación y=kx^2 que pasa por dicho punto. Halle la curva C \in \mathfrak{I} que pasa por (0,1).

Como la recta normal a la curva es tangente a la parábola, buscamos la familia de curvas perpendicular a la familia:
y=kx^2

derivando
y' = 2kx
xy' = 2kx^2
la EDO asociada es
xy' = 2y

cambio y' por \frac{-1}{y'}
-x = 2y y'
resuelvo
2yy' = -x
es de variables separables
\int 2y dy = \int -x dx
y^2 = -\frac{x^2}{2} + c
2y^2 + x^2 = c

como pasa por (0,1)
2 = c
por lo tanto, la curva buscada es

x^2 + 2y^2 = 2
que es una elipse centrada en el origen de coordenadas.

Una observación interesante sobre este ejercicio es que el punto (0,1) en realidad no pertenece a la primera familia de curvas:
y = kx^2
pues al reemplazar quedaría
1 = k 0
1=0
lo cual es absurdo. Pero podemos pensarlo como un caso límite, es decir en la medida que tomamos cada vez k mayores, obtenemos curvas que pasan cada vez “mas cerca” de (0,1), y el caso límite correspondería a la semirecta que corresponde al eje y con y > 0. En ese caso la elipse y esta recta se cortan perpendicularmente, como era de esperar.

En el siguiente gráfico podemos ver la curva pedida en azul, algunas curvas de la familia original en verde, y las rectas tangente y normal a la curva pedia en el punto (0,1)


draw2d(
color=blue,
parametric(sqrt(2)*cos(t), 1*sin(t), t,0,2*%pi),
color=orange,
parametric(t,1*t^2, t,-1,1),
parametric(t,2*t^2, t,-0.75,0.75),
parametric(t,4*t^2, t,-0.5,0.5),
color=black,
parametric(0,t, t,0,1.25),
color=black,
parametric(t,1, t,-1.25,1.25)
);