Tp.1 Ej.11.b

Domingo, mayo 22nd, 2011

Verifique que las siguientes familias de curvas son ortogonales:

b) \begin{cases} x^2 - y^2 + \ln(\cos(2xy)) = C_1 \\ x^2 - y^2 + \ln(\sin(2xy)) = C_2 \end{cases}

las familias de curvas son:
x^2 - y^2 + \ln(\cos(2xy)) = C_1
x^2 - y^2 + \ln(\sin(2xy)) = C_2

sus ecuaciones diferenciales son:
\begin{cases} 2x - 2yy' - \frac{\sin(2xy)}{\cos(2xy)} 2(y+xy') = 0 \\ 2x - 2yy' + \frac{\cos(2xy)}{\sin(2xy)} 2(y+xy') = 0 \end{cases}
o sea:
\begin{cases} 2x - 2yy' - \tan(2xy) 2(y+xy') = 0 \\ 2x - 2yy' + \frac{1}{\tan(2xy)} 2(y+xy') = 0 \end{cases}
dividiendo por 2:
\begin{cases} x - yy' - \tan(2xy) (y+xy') = 0 \\ x - yy' + \frac{1}{\tan(2xy)} (y+xy') = 0 \end{cases}

cambiando y' por \frac{-1}{y'} en la segunda ecuación diferencial:
x + \frac{y}{y'} + \frac{1}{\tan(2xy)} (y-\frac{x}{y'}) = 0

multiplicando por y' \cdot \tan(2xy)
x y' \tan(2xy) + y \tan(2xy) + y' (y-\frac{x}{y'}) = 0

x y' \tan(2xy) + y \tan(2xy) + y'y- x = 0
multiplicando por -1 y reordenando términos
x - yy' - \tan(2xy) (y + xy') = 0

que es la expresión de la primer ecuación diferencial, por lo tanto las familias de curvas son ortogonales.

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3 comentarios el “Tp.1 Ej.11.b

  1. Nahuel dice:

    Tal cual, me equivoqué en eso al derivar.

    Muchas Gracias!

    – Nahuel.

  2. Nahuel dice:

    Buenas tardes profesor, estoy revisando el ejercicio 13 b) de la primer guía de problemas, y realmente no puedo interpretarlo. ¿Podría ayudarme con esto?

    Muchas gracias, Nahuel.

    • dami dice:

      Hola Nahuel,
      Fijate que lo que te está pidiendo básicamente es que encuentres una curva de la familia perpendicular a la familia de curvas dada.
      Acá está la resolución.
      Suerte.

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