Tp.5 Ej.15

La recta determinada por la intersección de las superficies de ecuaciones y^2 = x^2 - z^2 y z=x es normal a la superficie de ecuación z = f(x,y) en (1,0,1), calcule aproximadamente f(0.98, 0.01)

Solución:

Queremos aproximar z=f(x,y) con el plano tangente a dicha superficie en (1,0,1).

Sabemos que la superficie es diferenciable porque nos dice que la recta es normal (y entonces sabemos que existe un plano tangente).

Como ya tenemos un punto de la recta (y la superficie) que es el punto A=(1,0,1), para obtener el plano nos faltaría un vector normal, pero para eso nos sirve el vector director de la recta (que es normal a la superficie, y entonces también al plano tangente). Veamos si podemos parametrizar la recta, la misma es la intersección de las superficies:

y^2 = x^2 - z^2
z=x

de la segunda ecuación en la primera
y^2 = x^2 - x^2 = 0
y^2 = 0
y=0
o sea que una parametrización posible es
g(t) = (t,0,t) = t(1,0,1)
y un vector director de la recta es
v = (1,0,1) = N
que es el vector normal de nuestro plano tangente. Con el punto y el vector normal obtenemos el plano tangente
(X-A) \cdot N = 0
(x-1, y-0, z-1) \cdot (1,0,1) = 0
x-1 + z-1 = 0
x+z=2

Pero queríamos aproximar
z_0 = f(0.98, 0.01)
despejamos z de la ecuación del plano tangente, y reemplazamos (x,y) = (0.98, 0.01) y obtenemos
z = 2-x
z_0 = f(0.98, 0.01) \approx 2 - 0.98 = 1.02

En el siguiente gráfico puede verse en en rojo y amarillo las dos superficies dato, en azul la recta intersección y en verde el plano perpendicular.

draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color="yellow",
parametric_surface(x,y,x, x,0,3, y,-2,2),
color="red",
parametric_surface(u,u*cos(v), u*sin(v), u,0,3, v,0,2*%pi),
color = "green",
parametric_surface(u*cos(v)+2,u*sin(v),2-u*cos(v), u, 0, 2, v, 0, 2*%pi),
color = "blue",
parametric(t,0,t, t,0,4)
);

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2 comentarios en “Tp.5 Ej.15

  1. No entendi como hiciste para parametrizar la recta, osea la ecuacion de una recta es (x,y,z)=A + hD (siendo A el punto y D el director de la recta ) el punto seria el (0,0,0)? Me refiero a donde dice:

    g(t)=(t,0,t)=t(1,0,1)

    • Hola FrancoGarcia,
      Si tome el punto (0,0,0). De la ecuacion parametrica de la recta saco la funcion que parametriza dicha recta g(t)
      Saludos,
      Damian.

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