Tp.1 Ej.5.e

Halle, según corresponda, la S.G. o la S.P. de las siguientes ecuaciones diferenciales.

e) y' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} con y(4) = 2

Solución:

Queremos resolver la ecuación diferencial
y' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}}

Las variables ya están separadas, integrando:
\int dy = \int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} dx

Resolvemos la integral
\int \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} dx
Si sustituyo
u = x^2 + 9
du = 2x dx
nos queda
\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} du
= \frac{1}{2} \cdot [2\sqrt{u} + c]
= \sqrt{x^2 + 9} + k

Por lo tanto la solución general es
y = \sqrt{x^2 + 9} + k

Ahora buscamos la solución particular tal que
y(4) = 2

reemplazando
2 = \sqrt{16+9} + k
o sea que
k = -3

Finalmente, la solución particular buscada es:
y = \sqrt{x^2 + 9} - 3