Consultas de cursos del 2011

Este post lo dejo creado para que puedan escribir en los comentarios las consultas que tengas sobre los ejercicios.

Recordá que podés escribir fórmulas usando comandos latex, por ejemplo si escribís $latex \int_0^1 x^2 dx $ se ve como \int_0^1 x^2 dx, y siempre podés previsualizar el comentario para ver si quedó bien.

Para previsualizar una fórmula escrita en \LaTeX podés utilizar esta página.

Final 10/3/2011

Solución: (de la parte práctica)

1) a) Enuncie el teorema de derivación de la composición de funciones en forma matricial. Dada la superficie \Sigma de ecuación z = f(\vec{g}(x,y)) con f(u,v) = k^2 u + v, \vec{g}(x,y) = (x^2 - y, 2y - xy), k constante, utilizando el teorema determine el valor de k > 0 para el cual la recta normal a \Sigma en (1,2,z_0) resulta paralela al eje z.

La composición es del tipo
(x,y) \to \vec{g} \to (u,v) \to f \to z
(1,2) \to \vec{g} \to (-1,2) \to f \to 2-k^2

z = h(x,y) = f \circ \vec{g}
\nabla h(1,2) = \nabla f(-1,2) \cdot D\vec{g}(1,2)

\nabla f = (k^2, 1)
D\vec{g} = \begin{pmatrix} 2x & -1 \\ -y & 2-x \end{pmatrix}

\nabla h(1,2) = \begin{pmatrix} k^2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2 & -1 \\ -2 & 1  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2k^2 - 2 & -k^2 + 1 \end{pmatrix}

\nabla h(1,2) = (2k^2-2, -k^2 + 1)

El vector normal a la superficie \Sigma es entonces
n = (h'_x, h'_y, -1) = (2k^2-2, -k^2 + 1, -1)

Para que sea paralelo al eje z los componentes x e y deben ser cero:

2k^2 - 2 = 0
-k^2 + 1 = 0

de ambos sale
k^2 = 1

y como k > 0
k=1
era el valor buscado.

b) Siendo \vec{f}(x,y) = ( g(x-y), xy - g(x-y) ) con g \in C^1, calcule la circulación en sentido positivo de \vec{f} a lo largo de la curva plana de ecuación x^2 + y^2 = 2y

Como g \in C^1 puedo aplicar el teorema de Green.
Q'_x - P'_y = y - g'(x-y) - (- g'(x-y) )
= y

uso el cambio de coordenadas a polares “trasladadas”
x = \rho \cos(\phi)
y = \rho \sin(\phi) + 1
con
0 \leq \phi \leq 2\pi
0 \leq \rho \leq +\infty
y su jacobiano es \rho

la integral nos queda
\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^1 \rho (\rho \sin(\phi) + 1) d\rho = \pi

2) a) Defina coordenadas polares. Aplíquelas para calcular la integral doble de f(x,y) = x^2 / (x^2 + y^2) en la región plana definida por -x \leq y \leq x, x \leq 1.

pasamos a coordenadas polares
x = \rho \cos(\phi)
y = \rho \sin(\phi)
con
0 \leq \phi \leq 2\pi
0 \leq \rho \leq + \infty
su jacobiano es \rho

transformo x=1 queda \rho \cos(\phi) = 1 o sea \rho = \frac{1}{\cos(\phi)}

transformo \frac{x^2}{x^2 + y^2} queda \frac{\rho^2 \cos^2(\phi)}{ \rho^2} = \cos^2(\phi)

\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos^2(\phi) d\phi \int_0^{\frac{1}{\cos(\phi)}} \rho d\rho

= \frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos^2(\phi) \frac{1}{\cos^2(\phi)} d\phi

= \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{4}

b) Calcule el área de la región del plano xy que se muestra en la figura, limitada por el arco de curva de ecuación \vec{X} = (3 \phi \cos(\phi), 3\phi \sin(\phi) ) con 0 \leq \phi \leq 2\pi y el segmendo de puntos extremos (0,0) y (6\pi, 0)

Este ejercicio se podía hacer aplicando el teorema de Green para el cálculo de áreas planas, no olvidando de integrar el segmento de recta.

Pero también salía diréctamente con integrales dobles (en polares) de la siguiente manera:

El ángulo se ve que va de 0 a 2\pi, y el radio es la distancia al origen, o sea que va desde cero hasta la norma de la parametrización g(\phi) = (3\phi \cos(\phi), 3\phi \sin(\phi) ) que es:

\rho = || (3\phi \cos(\phi), 3\phi \sin(\phi) ) ||
= \sqrt{9\phi^2 \cos^2(\phi) + 9\phi^2 \sin^2(\phi)}
= \sqrt{9\phi^2}
= 3\phi

por lo tanto queda la integral doble en polares
A = \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{3\phi} \rho d\rho

= \frac{1}{2} 9 \int_0^{2\pi} \phi^2 d\phi

= \frac{9}{2} \left[ \frac{\phi^3}{3} \right]_0^{2\pi}

= \frac{9}{2} \frac{8}{3} \pi^3

= 12 \pi^3

En la siguiente imagen se ve sombreada la región cuya área calculamos


draw2d(
parametric(3*t*cos(t), 3*t*sin(t), t,0,2*%pi),
parametric(6*%pi - t, 0, t, 0, 6*%pi)
);

3) Siendo \vec{f}(x,y,z) = (xz, yz, z^2). calcule el flujo de \vec{f} a través de la superficie abierta de ecuación x^2 + y^2 + z^2 = 5 con z \geq 1 + x^2 + y^2, indicando gráficamente la orientación que ha elegido para la superficie-

Este ejercicio se podía hacer con divergencia y sacando la tapa, o diréctamente como lo voy a hacer acá abajo. En este caso no voy a parametrizar la superficie sinó que voy a usar el método de integral de superficie implícita.

Primero averiguo como se intersecta la esfera con el paraboloide:
x^2 + y^2 + z^2 = 5
z = 1 + x^2 + y^2

de la segunda despejo x^2 y reemplazo en la primera
z - 1 - y^2 + y^2 + z^2 = 5
z^2 + z - 6 = 0
de donde sale z_1 = -3 (no sirve) y z_2 = 2 (sirve)
reemplazando en la segunda

2 = 1 + x^2 + y^2
o sea
x^2 + y^2 = 1

es decir que la proyección sobre el plano xy es una circunferencia de radio 1.

defino
G(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 - 5
(la superficie es el conjunto de nivel 0 de G)

el vector normal a la superficie lo obtengo haciendo
N = \frac{\nabla G}{ |G'_z|} = \left( \frac{2x}{2z}, \frac{2y}{2z}, \frac{2z}{2z} \right)
= \left( \frac{x}{z}, \frac{y}{z}, 1 \right)

Luego,
f \cdot N = (xz, yz, z^2) \cdot \left( \frac{x}{z}, \frac{y}{z}, 1 \right)
= x^2 + y^2 + z^2

reemplazando z^2 con el valor de z sobre la superficie z = \sqrt{5 - x^2 - y^2} nos queda

= x^2 + y^2 + 5 - x^2 - y^2
= 5

Por lo tanto el flujo pedido lo calculamos integrando en polares sobre la proyección en el plano xy de la superficie, que es la circunferencia unitaria, y nos queda

5 \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^1 \rho d\rho = 5\pi

En el siguiente gráfico podemos ver en azul la parte de la esfera sobre la que calculamos el flujo (con normal hacia “arriba”), en celeste se ve parte de la continuación de la esfera, y en verde el paraboloide que sólo interviene para “recortar” la superficie.


draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), sqrt(5-u^2), u, 0, 1.5, v, 0, 2*%pi),
color = "blue",
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), sqrt(5-u^2), u, 0, 1, v, 0, 2*%pi),
color = "green",
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 1+u^2, u, 0, 1.05, v, 0, 2*%pi)
);

4) Dado \vec{f}(x,y,z) = (x, 2y, 3z), calcule la circulación de \vec{f} desde \vec{A} = (1,2,z_0) hasta \vec{B} = (5, y_1, z_1) a lo largo de la recta normal en el punto \vec{A} a la superficie \Sigma definida implícitamente por xz + Exp(z-x) + xy - 4 = 0

Este se podía hacer por función potencial ya que el campo es conservativo, de todas formas hay que averiguar los puntos \vec{A} y \vec{B}. Yo lo voy a hacer de la forma directa, es decir sin usar función potencial.

defino
G(x,y,z) = xz + e^{z-x} + xy - 4
(la superficie es el conjunto de nivel 0 de G)

el gradiente es normal al conjunto de nivel, y por lo tanto a la superficie
\nabla G = (z - e^{z-x} +y, x, x + e^{z-x} )

N = \nabla G(1,2,1) = (2,1,2)

la recta es entonces
r(t) = A + tN
= (1,2,1) + t(2,1,2)
= (1+2t, 2+t, 1+2t)
con 0 \leq t \leq 2
luego A=(1,2,1) y B=(5,4,5)

derivo
r'(t) = (2,1,2)

la circulación pedida es
\int_0^2 f(r(t)) r'(t) dt
\int_0^2 (1+2t, 4+2t, 3+6t) \cdot (2,1,2) dt

\int_0^2 2 + 4t + 4 + 2t + 6 + 12t dt

\int_0^2 18t + 12 dt

= [9t^2 + 12t]_0^2 = 60