Archivos para enero, 2011

Tp.5 Ej.14

Lunes, enero 24th, 2011

14) Sea f \in C^1, si f'(\vec{A}, (3,4)) = 4 y f'(\vec{A}, (2,7)) = -6. a) Calcule f'(\vec{A}, (5,9)), b) determine el valor de la derivada direccional máxima de f en \vec{A}, c) Sabiendo que f(\vec{A}) = 3, calcule en forma aproximada f(\vec{A} + (0.01, -0.02))

Solución:

Llamemos
\nabla f(\vec{A}) = (a,b)

Por ser f \in C^1 sabemos que
3a + 4b = 4
2a + 7b = -6
de donde

\nabla f(\vec{A}) = (4,-2)
Luego

f'(\vec{A}, (5,9)) = \nabla f(\vec{A}) \cdot (5,9)
= (4,-2)(5,9) = 2

La derivada direccional máxima vendrá dada por
|| \nabla f(\vec{A}) || = || (4,-2) || = 2 \sqrt{5}

f(\vec{A} + (0.01, -0.02)) \approx f(\vec{A}) + f'_x(\vec{A}) 0.01 - f'_y(\vec{A}) 0.02
= 3 + 4 \cdot 0.01 - 2 \cdot (-0.02)
= 3.08

Tp.5 Ej.10

Lunes, enero 24th, 2011

10) Sea S la superficie de ecuación \vec{X} = (u-v^2, v^2 /u, u/v) con (u,v) \in \mathbb{R}^2 / uv \neq 0, verifique que \vec{A} = (-2,2,1) es un punto regular de S. Determine y exprese en forma cartesiana el plano tangente y la recta normal a S en \vec{A}.

Solución:

La superficie paramétrica es
S(u,v) = (u-v^2, \frac{v^2}{u}, \frac{u}{v})

Los parámetros del punto \vec{A} son (u,v) = (2,2) pues
S(2,2) = (-2, 2, 1) = \vec{A}

S'_u = (1, - \frac{v^2}{u^2}, \frac{1}{v} )
S'_v = (-2v, 2 \frac{v}{u}, - \frac{u}{v^2} )

S'_u(2,2) = (1, -1, \frac{1}{2})
S'_v(2,2) = (-4, 2, -\frac{1}{2})

El producto vectorial de las derivadas parciales es distinto del vector nulo
\vec{N} = (S'_u \wedge S'_v)(2,2) = (-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, -2) \neq \vec{0}

luego \vec{A} es un punto regular de la superficie S.

El plano tangente viene dado por
(\vec{X} - \vec{A}) \cdot \vec{N} = 0
(x+2, y-2, z-1) (-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, -2) = 0
(x+2, y-2, z-1) (1, 3, 4) = 0
x + 2 + 3y - 6 + 4z - 4= 0
x + 3y + 4z - 8 = 0

La recta normal en paramétricas
r(\lambda) = \vec{A} + \lambda \vec{N}
= (-2,2,1) + \lambda (-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}, -2)
con t = -2\lambda
r(t) = (-2,2,1) + t(1,3,4)
= (-2+t, 2+3t, 1+4t)

Si
x = -2+t
y = 2+3t
z = 1+4t

entonces
t = x+2
y = 2+ 3(x+2)
z = 1 + 4(x+2)

luego ecuación cartesiana de la recta normal es
y = 8 + 3x
z = 9 + 4x

En el siguiente dibujo podemos ver la superficie en azul, el plano tangente en verde, y la recta normal en rojo.

draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "blue",
parametric_surface(u-v^2, v^2/u, u/v, u, 1.5, 2.1, v, 1.5, 2.1),
color = "green",
explicit(-x/4-3*y/4 + 2, x, -3, -1, y, 1, 3),
color = "red",
parametric(-2+t,2+3*t,1+4*t, t,-0.5,0.5)
);

Tp.2 Ej.5.a

Jueves, enero 20th, 2011

Represente geométricamente los conjuntos de nivel de los siguientes campos escalares:

a) f(x,y) = xy-2

Solución:

Las curvas de nivel viene a ser el conjunto

C_k = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 / xy-2 = k\}

Es decir vienen dadas por la ecuación implícita

xy-2 = k
con k \in \mathbb{R}

luego,
xy = k+2

Si k=-2 representa los ejes cartesianos.
Si k \neq -2 y x \neq 0
y = \frac{k+2}{x}
representa hipérbolas (rotadas)
Si k \neq -2 y x = 0 no se satisface la ecuación, y con este ya vimos todos los casos posibles.

El gráfico de las curvas de nivel es


WolframAlpha: contour plot xy-2

Tp.2 Ej.1.f

Jueves, enero 20th, 2011

Reconozca los siguientes conjuntos de puntos y grafíquelos. En cada caso analice si el conjunto es cerrado, abierto, acotado; indique cuales son sus puntos interiores, frontera y exteriores.

f) Puntos del plano en el 1º cuadrante tales que y > x^2 - x, y \leq 2

Solución:

Llamo R a la región.

Puntos interiores:
PI = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 / (y > x^2 - x) \wedge (y < 2) \}

Puntos exteriores:
PE = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 / (x<0) \vee (y 2) \vee (y < x^2 - x) \}

Puntos frontera:
PF = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 / (x,y) = (0,u) con 0 \leq u \leq 2
\vee \ (x,y)=(v,0) con 0 \leq v \leq 1
\vee \ (x,y)=(w,w^2-w) con 1 \leq w \leq 2
\vee \ (x,y)=(t,2) con 0 \leq t \leq 2 \}

No es abierto pues A_0 = (1,2) es punto frontera y pertenece a la región.
No es cerrado pues A_1 = (\frac{3}{2}, \frac{3}{4}) es punto frontera y no petenece a la región.
Es acotado pues E(\vec{0}, 5) = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 / x^2 + y^2 < 5\} contiene a la región.