Tp.11 Ej.9.e

Halle la S.G. de las siguientes ecuaciones diferenciales

e) y'' - 2y' + y = x^{-1} e^x

Solución:

Primero resolvemos la EDO homogenea asociada
y'' - 2y' + y = 0
Proponemos como solución
y = e^{\alpha x}
luego
e^{\alpha x} (\alpha^2 - 2\alpha + 1) = 0
el polinomio característico es
\alpha^2 - 2\alpha + 1 = 0

Tiene una raíz doble en \alpha_1 = 1
Luego un conjunto de soluciones L.I. es
\{e^x, x e^x \}
y las soluciones de la homogénea son de la forma

y_h = c_1 e^x + c_2 x e^x

Ahora debemos buscar una solución particular.
Proponemos como solución particular
y = u(x) e^x + v(x) x e^x
luego
y' = u' e^x + u e^x + v' xe^x + v(e^x + xe^x)
Ahora pedimos que
u' e^x + v' xe^x = 0
luego
y' = ue^x + v(e^x + xe^x)
y'' = u' e^x + u e^x + v'(e^x + xe^x) + v(e^x + e^x + xe^x)

reemplazamos en la ecuación diferencial
y'' - 2y' + y = x^{-1} e^x

u' e^x + u e^x + v'(e^x + xe^x) + v(e^x + e^x + xe^x) - 2 ue^x - 2 v(e^x + xe^x) + u e^x + v x e^x = \frac{e^x}{x}

u e^x - 2 ue^x + u e^x + v(e^x + e^x + xe^x) - 2 v(e^x + xe^x) + v x e^x + u' e^x + v'(e^x + xe^x) = \frac{e^x}{x}

u (\underbrace{e^x - 2e^x + e^x}_{=0}) + v(\underbrace{e^x + e^x + xe^x - 2e^x -2xe^x + x e^x}_{=0}) + u' e^x + v'(e^x + xe^x) = \frac{e^x}{x}

u' e^x + v'(e^x + xe^x) = \frac{e^x}{x}

por lo tanto nos queda el sistema de ecuaciones

u' e^x + v' xe^x = 0
u' e^x + v'(e^x + xe^x) = \frac{e^x}{x}

Llamando
W = \left| \begin{matrix} e^x & xe^x \\ e^x & e^x + xe^x \end{matrix} \right| = e^{2x} + xe^{2x} - xe^{2x} = e^{2x}

W_1 = \left| \begin{matrix} 0 & xe^x \\ \frac{e^x}{x} & e^x + xe^x \end{matrix} \right| = - e^{2x}

W_2 = \left| \begin{matrix} e^x & 0 \\ e^x & \frac{e^x}{x} \end{matrix} \right| = \frac{e^{2x}}{x}

Luego, por la regla de Cramer, las soluciones son de la forma
u' = \frac{W_1}{W} = -1

v' = \frac{W_2}{W} = \frac{1}{x}

Por lo tanto nos sirve tomar
u = -x
v = \ln|x|

la solución particular es
y_p = -x e^x + \ln|x| x e^x

y la solución general buscada es
y_g = y_h + y_p
y = c_1 e^x + c_2 x e^x - x e^x + \ln|x| x e^x

y = c_1 e^x + (c_2 - 1) x e^x + \ln|x| x e^x

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2 respuestas a Tp.11 Ej.9.e

  1. Pablo dijo:

    Damian,

    Este tipo de ejercicis no recuerdo haberlos visto en finales, se que llevan mucho tiempo y por ahi por eso no estan. Parte de la idea es reducir a una EDO y de ahi en adelante ir reemplazando no?

    Estaba buscando bibliografia de EDO que me permita ver los metodos de resolucion. Que podes recomendarme?
    Muchas gracias!

    Excelente laburo el que haces en el blog, esta espectacular para alumnos que necesitan aprender mas sobre la materia!

    Saludos!

    • dami dijo:

      Hola Pablo,
      En el Apostol está el tema EDO. Algunos métodos los encontrás también en los apuntes de la profesora Campillo (fijate en los pdf al costado de este blog).
      También te sirve el Flax tomo 3.
      Saludos,
      Damián.

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