Tp.1 Ej.8.a

Jueves, septiembre 2nd, 2010

8 ) Halle la familia de curvas tales que su recta tangente en cada punto…
a)…pasa por (0,0)

Solución:

La ecuación de la recta tangente podemos escribirla como
f(x)-f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0)

Como queremos que pase por el origen debe cumplir:
0-f(x_0) = f'(x_0)(-x_0)
o sea:
f(x_0) = f'(x_0)x_0
Llamando y_0 = f(x_0), y y'_0 = f'(x_0) nos queda:
y_0 = y'_0 x_0

Como el punto (x_0, y_0) es el punto genérico donde calculamos la recta tangente, podemos generalizarlo para obtener la ecuación diferencial:
y = y'x
o lo que es lo mismo
\frac{y'}{y} = \frac{1}{x}

Para obtener la familia de curvas resolvemos la ecuación diferencial:

\ln|y| = \ln|x| + c
|y| = k |x| con k = e^c > 0
y = k_2 x
que es la familia de curvas pedida, solo habría que excluír x=0 ya que en ese caso nos quedaría el eje y cuya curva no es la gráfica de una función y=f(x)

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3 comentarios el “Tp.1 Ej.8.a

  1. Nahuel dice:

    Hola, desde ya te quiero decir que la pagina es excelente y que me re contra sirve para la facultad.

    Te hago una breve consultita, en calidad de que o como se justifica el hecho de sacar los modulos cuando ya estas en la instancia de
    ln |y| = ln |x| + c ???, por que en la siguiente expresion ya no estan?.

    Desde ya muchisimas gracias.
    Saludos.

    • dami dice:

      Hola Nahuel,
      Muchas gracias! Respecto del ejercicio, la justificación viene por el lado de que obtenés la misma familia de curvas.

      \ln|y| = \ln|x| + c
      e^{\ln|y|} = e^{\ln|x| + c} = e^c \cdot e^{\ln|x|}
      Si k = e^c (es claro que k > 0)
      |y| = k |x|
      llegado a este punto, generalizamos k diciendo que ahora puede tener signo negativo, y el mismo va a absorver el signo de ambos módulos, es decir
      y = kx
      Es la familia de rectas que pasa por el origen.
      Espero te haya aclarado un poco el panorama, sinó probá graficar la familia de rectas antes de sacar el módulo, te tienen que quedar la misma familia de curvas.
      Suerte!

  2. Nahuel dice:

    Profesor, desde ya muchisimas gracias por la pronta respuesta.
    Disculpeme pero hay dos cosas que quizas no me quedan muy claras.

    1) Por que la necesidad de generar la variable K en vez de directamente trabajar con e^c ??. Es mandatorio o simplemente una cuestion de prolijidad en la ecuacion ?.

    2) No entiendo muy bien eso de que k ahora puede tomar signos negativos y asi absorver el signo de ambos modulos, que significa esto?.

    Desde ya muchisimas gracias, yo estoy cursando Analisis II en la Facultad de Ingenieria de la UBA y sinceramente esta pagina contiene casi todo el material necesario y ejercicios super utiles para aprobar los examenes.

    Saludos.

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