Tp.1 Ej.4.c

4) Halle la ecuación diferencial de la familia de…
c) …circunferencias que pasan por el origen y tienen su centro en la recta y=k, con k dato conocido.

Solución:
Primero escribo la ecuación de la circunferencia de centro (x_0, y_0) y radio r:
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2

Como el centro está sobre la recta y=k,es de la forma:
(x-x_0)^2+(y-k)^2=r^2

Como pasa por el origen debe cumplir:
(-x_0)^2+(-k)^2=r^2
es decir
x_0^2+k^2=r^2

Reescribo la circunferencia como: (llamo c=x_0 por ser la constante indeterminada de la familia)
(x-c)^2+(y-k)^2 = c^2 + k^2 \ \ \ (1)
derivando respecto de x:
2(x-c) + 2(y-k)y' = 0
despejo la constante
x-c + (y-k)y' = 0
c = x + (y-k)y'
y la reemplazo en (1):
(x-x-(y-k)y')^2+(y-k)^2 = (x+(y-k)y')^2 + k^2
reacomodando términos:
(y-k)^2y'^2+(y-k)^2 = x^2 + 2x(y-k)y' + (y-k)^2y'^2 + k^2
(y-k)^2 = x^2 + 2x(y-k)y' + k^2
y^2 - 2yk + k^2 = x^2 + 2x(y-k)y' + k^2
y^2 - 2yk - x^2 = 2x(y-k)y'
que es la ecuación diferencial pedida.

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5 comentarios en “Tp.1 Ej.4.c

  1. Hola Damian

    Estuve resolviendo los ejercicios de la guía 8 a) y 8 b) y logre llegar al resultado utilizando la ecuación de recta tangente expresada en forma parametrica como bien vos utilizaste en el ejercio 8 c). Pero al intenar llegar al resultado utilizando la expresiónde la recta tangente:

    y - f(a) = f'(a)(x-a)

    no me es posible.

    Desde ya muchisimas gracias.

  2. Buenas Tardes, quisiera saber si me puedes colaborar, resulta que tengo q resolver un punto parecido a este pero en mi caso C es la misma en X y Y, dejando la ecuación de la siguiente forma:

    (x-c)^2 + (y-c)^2 = c^2

    Al derivarla me da lo siguiente y hay es donde me pierdo.

    2x - 2c + 0 (y')

    No se, si hay puedo despejar C y ese (y’) no se me cancela con el 0, quedando así

    2x-2c = 0
    2x=2x
    (2x)/2 = c
    c= x (y')

    Agradezco su colaboración.

    • Hola Karem,
      Para que parsee latex tenés que cerrar el tag con el símbolo $. (te lo corregí en tu comentario).

      No entendí que hicistes al derivar, no te queda una ecuación.

      A ver, la familia es
      (x-c)^2 + (y-c)^2 = c^2

      si derivo queda
      2(x-c) + 2(y-c)y' = 0
      voy despejando la constante
      x-c + y - cy' = 0
      x+y = cy' + c
      c(y'+1) = x+y
      c = \frac{x+y}{y'+1}

      Queda media extraña la ec. dif, pero en fín:

      (x - \frac{x+y}{y'+1})^2 + (y - \frac{x+y}{y'+1})^2 = (\frac{x+y}{y'+1})^2

      De donde lo sacastes el ejercicio? Es de un parcial de utn?
      Saludos,
      Damián.

  3. Ah ok muchas gracias, no me había dado cuenta del $ para cerrar, hasta que ya se había publicado… y pues no, resulta que es un ejercicio de ecuaciones diferenciales, de un tema que se llama trayectorias ortogonales, pero la verdad no tengo un ejemplo base para resolverlo, pero este se parece en algunas cosas… 😉 gracias por la colaboración dami…

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