Tp.1 Ej.2.c

02) Verifique que
c) y^2 = C_1 x + C_2 es S.G. de y y'^2 + y^2 y'' = 0. Halle la S.P. que en (1,y_0) tiene recta tangente de ecuación y = 2x-1

Solución

Primero derivamos la solución general:
\begin{matrix} 2yy' = C_1 & (1) \\ 2(y' y' + y y'') = 0 & (2) \end{matrix}

De la ecuación (2) sale que:
y'^2 + y y'' = 0
multiplicando por y nos queda la misma ecuación diferencial, lo cual verifica que se trataba de la solución general.

Para hallar la S.P. primero averiguamos y_0 teniendo en cuenta que la recta tangente debe pasar por (1,y_0)
y = 2x-1
y_0 = 2-1 = 1
Además, de la recta tangente sale que
y'(1) = 2
Reemplazando todo esto en la ecuación (1)
2yy' = C_1
2 \cdot 1 \cdot 2 = C_1
C_1 = 4
Y ahora reemplazamos todo en la solución general
y^2 = C_1 x + C_2
1^2 = 4 \cdot 1 + C_2
C_2 = -3
Finalmente, obtenemos la S.P:
y^2 = 4x - 3

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9 comentarios en “Tp.1 Ej.2.c

  1. Hola Damian

    No logre resolver el ejercicio 4 c) del TP 1. Encare el ejercicio de la siguiente manera:

    Ecuación de la circunferencia:

    (x-a)^2 + (y-b) ^2 = r ^2

    Si el centro de la circunferencia esta en y=k entonces (x-a) ^ 2 + (y-k) ^ 2 = r ^2

    Ademas el ejercicio dice que la circunferencia pasa por el (0,0)

    (0-a) ^2 + (0-k) ^2 = r ^ 2 => a ^ 2 +k ^ 2 = r ^ 2

    Reemplazo y obtengo la siguiente ecuación:

    (x-a) ^2 + (y-k) ^2 = a ^ 2 + k ^ 2

    x ^ 2 – 2ax + a ^ 2 + y ^ 2 – 2ky + k ^ 2 = a ^ 2+k ^ 2

    x ^ 2 – 2ax + y ^ 2 – 2ky = 0

    Diferenciando:

    2x – 2a + 2yy’ – 2ky’=0

    No se como eliminar el parámetro arbitrario “a” de tal manera de llegar al resultado de la guía.

    Gracias!!!.

  2. Hola Damian,

    Resolviendo el ejercicio 9.b) del TP 1, logre hallar el valor de “v” siendo el mismo:

    v = e^{-\sin(x)}

    pero para obtener el valor de “u” necesito resolver la siguiente integral que no logro dilucidar:

    u = \int \cos(x) \sin(x) e^{\sin(x)} dx

    Intente integrar por partes pero no tuve exito.

    Gracias de antemano!!!

    Saludos

  3. Hola Damián

    Hay un ejercicio de final tomado el día 26-02-2009 que dice lo siguiente:

    2.a) Halle f(x) tal que f(1) = 2 sabiendo que y = x f(x) es solución de x y’-y = 1

    Llegue a un resultado que no verifica. Te paso la resolución para ver si es correcta.

    Solución:
    Como el enunciado dice que y= x f(x) es solución de x y’-y = 1, calculo

    y= x f(x)

    y’= f(x)+x f’(x)

    y reemplazo en x y’-y = 1

    x (f(x)+x f’(x) – x f(x) =1

    obtengo

    x f’(x)=1 resuelvo la integral

    f (x) = ln(x) + C

    Si f(1) = 2 entonces f(1) = ln(1)+C

    C=2 entonces f(x) = ln(x) + 2

    Saludos!

  4. respecto al ejercicio de final, no cuento con la respuesto pero trate de verificar el resultado haciendo lo siguiente.

    Obtuve como resultado f(x) = ln(x) + 2

    entonces como el ej. dice que y= x f(x) es solucion de x y’-y = 1 hice lo siguiente:

    y = x f(x)

    y = x (ln(x) +2)

    y’= 3+ ln(x)

    entonces reemplazo en x y’-y = 1

    3x + x ln (x) – x ln (x) -2x = 1

    obtengo x=1

    ¿Es correcto? no deberia haber llegado a una expresion 1=1?

    • Hola arodri83, fijate mi respuesta anterior con el error que encontré.
      Efectivamente deberías haber llegado a una expresión del tipo 1=1 en lugar de x=1
      Saludos,
      Damián.

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