Tp.1 Ej.2.c

02) Verifique que
c) y^2 = C_1 x + C_2 es S.G. de y y'^2 + y^2 y'' = 0. Halle la S.P. que en (1,y_0) tiene recta tangente de ecuación y = 2x-1

Solución

Primero derivamos la solución general:
\begin{matrix} 2yy' = C_1 & (1) \\ 2(y' y' + y y'') = 0 & (2) \end{matrix}

De la ecuación (2) sale que:
y'^2 + y y'' = 0
multiplicando por y nos queda la misma ecuación diferencial, lo cual verifica que se trataba de la solución general.

Para hallar la S.P. primero averiguamos y_0 teniendo en cuenta que la recta tangente debe pasar por (1,y_0)
y = 2x-1
y_0 = 2-1 = 1
Además, de la recta tangente sale que
y'(1) = 2
Reemplazando todo esto en la ecuación (1)
2yy' = C_1
2 \cdot 1 \cdot 2 = C_1
C_1 = 4
Y ahora reemplazamos todo en la solución general
y^2 = C_1 x + C_2
1^2 = 4 \cdot 1 + C_2
C_2 = -3
Finalmente, obtenemos la S.P:
y^2 = 4x - 3

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9 respuestas a Tp.1 Ej.2.c

  1. arodri83 dijo:

    Hola Damian

    No logre resolver el ejercicio 4 c) del TP 1. Encare el ejercicio de la siguiente manera:

    Ecuación de la circunferencia:

    (x-a)^2 + (y-b) ^2 = r ^2

    Si el centro de la circunferencia esta en y=k entonces (x-a) ^ 2 + (y-k) ^ 2 = r ^2

    Ademas el ejercicio dice que la circunferencia pasa por el (0,0)

    (0-a) ^2 + (0-k) ^2 = r ^ 2 => a ^ 2 +k ^ 2 = r ^ 2

    Reemplazo y obtengo la siguiente ecuación:

    (x-a) ^2 + (y-k) ^2 = a ^ 2 + k ^ 2

    x ^ 2 – 2ax + a ^ 2 + y ^ 2 – 2ky + k ^ 2 = a ^ 2+k ^ 2

    x ^ 2 – 2ax + y ^ 2 – 2ky = 0

    Diferenciando:

    2x – 2a + 2yy’ – 2ky’=0

    No se como eliminar el parámetro arbitrario “a” de tal manera de llegar al resultado de la guía.

    Gracias!!!.

  2. arodri83 dijo:

    Hola Damian,

    Resolviendo el ejercicio 9.b) del TP 1, logre hallar el valor de “v” siendo el mismo:

    v = e^{-\sin(x)}

    pero para obtener el valor de “u” necesito resolver la siguiente integral que no logro dilucidar:

    u = \int \cos(x) \sin(x) e^{\sin(x)} dx

    Intente integrar por partes pero no tuve exito.

    Gracias de antemano!!!

    Saludos

  3. arodri83 dijo:

    Hola Damián

    Hay un ejercicio de final tomado el día 26-02-2009 que dice lo siguiente:

    2.a) Halle f(x) tal que f(1) = 2 sabiendo que y = x f(x) es solución de x y’-y = 1

    Llegue a un resultado que no verifica. Te paso la resolución para ver si es correcta.

    Solución:
    Como el enunciado dice que y= x f(x) es solución de x y’-y = 1, calculo

    y= x f(x)

    y’= f(x)+x f’(x)

    y reemplazo en x y’-y = 1

    x (f(x)+x f’(x) – x f(x) =1

    obtengo

    x f’(x)=1 resuelvo la integral

    f (x) = ln(x) + C

    Si f(1) = 2 entonces f(1) = ln(1)+C

    C=2 entonces f(x) = ln(x) + 2

    Saludos!

  4. arodri83 dijo:

    con la sustitucion del tipo u= sin(x) llegue al resultado del ejercicio 9.b)

    Gracias!!!

  5. arodri83 dijo:

    respecto al ejercicio de final, no cuento con la respuesto pero trate de verificar el resultado haciendo lo siguiente.

    Obtuve como resultado f(x) = ln(x) + 2

    entonces como el ej. dice que y= x f(x) es solucion de x y’-y = 1 hice lo siguiente:

    y = x f(x)

    y = x (ln(x) +2)

    y’= 3+ ln(x)

    entonces reemplazo en x y’-y = 1

    3x + x ln (x) – x ln (x) -2x = 1

    obtengo x=1

    ¿Es correcto? no deberia haber llegado a una expresion 1=1?

    • dami dijo:

      Hola arodri83, fijate mi respuesta anterior con el error que encontré.
      Efectivamente deberías haber llegado a una expresión del tipo 1=1 en lugar de x=1
      Saludos,
      Damián.

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