Final 03/08/2010

Martes, agosto 10th, 2010

Antes que todo gracias a Mariano y Alejandra por enviarme el enunciado de este final.

Primero publico la resolución que me pasó Alejandra del profesor Santamartina

Lo que sigue es lo que llegué a resolver hasta que me llegó la resolución del final, para los últimos ejercicios miren la resolución de arriba.

Solución: (de la parte práctica)

1) a) Siendo y=x^2 una SP de y'' + by' = 2x+a, halle la SP que en el punto (0,1) tiene pendiente y'(0) = 2

Primero verifico que sea SP
y = x^2
y' = 2x
y'' = 2

reemplazo
2 + b2x = 2x + a

de donde sale b=1 y a=2, por lo tanto la ecuación diferencial es
y'' + y' = 2x+2

es una ecuación diferencial lineal ordinaria de 2do orden, el polinomio característico es
\alpha^2 + \alpha = 0
de donde sale
\alpha_1 = 0 y \alpha_2 = -1
por lo tanto la ecuación diferencial homogénea asociada tiene solución general
y_h = c_1 + c_2 e^{-x}

para la particular propongo y_p = ax^2+bx+c
y'_p = 2ax + b
y''_p = 2a

reemplazo
2a + 2ax + b = 2x + 2
2ax + 2a+b = 2x + 2
de donde sale al comparar coeficientes
2a=2
2a+b = 2
o sea
a=1
b=0

por lo tanto una SP es de la forma
y_p = x^2

La SG es de la forma
y = y_h + y_p
y = c_1 + c_2 e^{-x} + x^2
derivando
y' = -c_2 e^{-x} + 2x

En el punto (0,1)
1 = c_1 + c_2
considerando y'(0) = 2
2 = -c_2

de donde sale que
c_2 = -2
c_1 = 3

por lo tanto la SP buscada es
y = 3 - 2 e^{-x} + x^2

verifico
y' = 2e^{-x} + 2x
y'' = -2e^{-x} + 2
reemplazo
-2e^{-x} + 2 + 2e^{-x} + 2x = 2x+2
lo cual verifica la ecuación diferencial.

b) Sea C la curva de ecuación X = (x,f(x), 2-x) con 0.5 \leq x \leq 2 donde y=f(x) es la solución de xy'=2 que pasa por (1,0). Analice si la recta tangente a C en (1,0,z_0) interseca al plano de ecuación z=y

Primero resolvemos la ecuación diferencial
xy'=2
y' = 2/x
y = 2 \ln|x| + c
como pasa por (1,0)
0 = c
por lo tanto
y = 2\ln|x|
por lo tanto la curva queda
X = C(x) = (x, 2\ln|x|, 2-x)

En el punto (1,0,z_0) se tiene que dar que x=1 y z_0 = 1 por lo tanto un punto que pertenece a la curva es (1,0,1)

Derivamos la curva
C'(x) = (1, 2/x, -1)
C'(1) = (1,2,-1)

por lo tanto la recta tangente es
r(\lambda) = (1,0,1) + \lambda(1,2,-1)
= (1+\lambda, 2\lambda, 1 -\lambda)

Verificamos si interseca al plano z=y
1-\lambda = 2\lambda
3 \lambda = 1
\lambda = 1/3

Por lo tanto interseca al plano, lo hace en el punto
r(1/3) = (4/3, 2/3, 2/3)

2) a) Mediante el cambio de variables definido por (x,y) = (v-u, v+u), D_{xy} se transforma en D_{uv}. Sabiendo que \iint_{D_{xy}} y-x \ dxdy = 12, calcule \iint_{D_{uv}} u \ dudv.

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4 comentarios el “Final 03/08/2010

  1. Hernán dice:

    Hola,

    no termino de entender (de la solución que está escaneada) los límites de la integral del ejercicio 3.

    alguien los tiene bien?

    saludos,
    hernán

  2. Ivan dice:

    El ejercicio 4 no da 160*pi?

    la integral con los límites 5 y 1 es: – r^3+ 6 r^2-r dr ??

    • dami dice:

      Hola Ivan,
      No veo como llegás a ese resultado. Tenés que calcular un volúmen, cual es la integral triple completa que planteás?
      Fijate que en la resolución se plantean los 3 límites de integración.
      Saludos,
      Damián.

  3. Andrea dice:

    Hola Dami, con respecto al pto 4 mi pregunta es si la superficie cartesiana es : (raiz de (x^2 + y^2 – 3))^2 – z = 0 . Se que no lo necesito para resolver este ejercicio pero queria saberlo por si en lugar de darle la superficie en coord cilindricas, la dan cartesiana y luego hay q convertirla.
    Gracias!!

    Andrea

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