Archivos para agosto, 2010

Fecha próximo final

Martes, agosto 31st, 2010

Ya se han definido las fechas de examen final del turno Septiembre 2010 y, para nuestra UDB, las mismas son:

  • Análisis Matemático I y Probabilidad y Estadística: Jueves 23 de Septiembre de 2010
  • Análisis Matemático II y Algebra y Geometría Analítica: Viernes 24 de Septiembre de 2010

Todas las mesas se toman en Campus a las 19.00 hs.

Tp.1 Ej.4.c

Martes, agosto 31st, 2010

4) Halle la ecuación diferencial de la familia de…
c) …circunferencias que pasan por el origen y tienen su centro en la recta y=k, con k dato conocido.

Solución:
Primero escribo la ecuación de la circunferencia de centro (x_0, y_0) y radio r:
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2

Como el centro está sobre la recta y=k,es de la forma:
(x-x_0)^2+(y-k)^2=r^2

Como pasa por el origen debe cumplir:
(-x_0)^2+(-k)^2=r^2
es decir
x_0^2+k^2=r^2

Reescribo la circunferencia como: (llamo c=x_0 por ser la constante indeterminada de la familia)
(x-c)^2+(y-k)^2 = c^2 + k^2 \ \ \ (1)
derivando respecto de x:
2(x-c) + 2(y-k)y' = 0
despejo la constante
x-c + (y-k)y' = 0
c = x + (y-k)y'
y la reemplazo en (1):
(x-x-(y-k)y')^2+(y-k)^2 = (x+(y-k)y')^2 + k^2
reacomodando términos:
(y-k)^2y'^2+(y-k)^2 = x^2 + 2x(y-k)y' + (y-k)^2y'^2 + k^2
(y-k)^2 = x^2 + 2x(y-k)y' + k^2
y^2 - 2yk + k^2 = x^2 + 2x(y-k)y' + k^2
y^2 - 2yk - x^2 = 2x(y-k)y'
que es la ecuación diferencial pedida.

Tp.1 Ej.2.c

Domingo, agosto 29th, 2010

02) Verifique que
c) y^2 = C_1 x + C_2 es S.G. de y y'^2 + y^2 y'' = 0. Halle la S.P. que en (1,y_0) tiene recta tangente de ecuación y = 2x-1

Solución

Primero derivamos la solución general:
\begin{matrix} 2yy' = C_1 & (1) \\ 2(y' y' + y y'') = 0 & (2) \end{matrix}

De la ecuación (2) sale que:
y'^2 + y y'' = 0
multiplicando por y nos queda la misma ecuación diferencial, lo cual verifica que se trataba de la solución general.

Para hallar la S.P. primero averiguamos y_0 teniendo en cuenta que la recta tangente debe pasar por (1,y_0)
y = 2x-1
y_0 = 2-1 = 1
Además, de la recta tangente sale que
y'(1) = 2
Reemplazando todo esto en la ecuación (1)
2yy' = C_1
2 \cdot 1 \cdot 2 = C_1
C_1 = 4
Y ahora reemplazamos todo en la solución general
y^2 = C_1 x + C_2
1^2 = 4 \cdot 1 + C_2
C_2 = -3
Finalmente, obtenemos la S.P:
y^2 = 4x - 3

Final 03/08/2010

Martes, agosto 10th, 2010

Antes que todo gracias a Mariano y Alejandra por enviarme el enunciado de este final.

Primero publico la resolución que me pasó Alejandra del profesor Santamartina

Lo que sigue es lo que llegué a resolver hasta que me llegó la resolución del final, para los últimos ejercicios miren la resolución de arriba.

Solución: (de la parte práctica)

1) a) Siendo y=x^2 una SP de y'' + by' = 2x+a, halle la SP que en el punto (0,1) tiene pendiente y'(0) = 2

Primero verifico que sea SP
y = x^2
y' = 2x
y'' = 2

reemplazo
2 + b2x = 2x + a

de donde sale b=1 y a=2, por lo tanto la ecuación diferencial es
y'' + y' = 2x+2

es una ecuación diferencial lineal ordinaria de 2do orden, el polinomio característico es
\alpha^2 + \alpha = 0
de donde sale
\alpha_1 = 0 y \alpha_2 = -1
por lo tanto la ecuación diferencial homogénea asociada tiene solución general
y_h = c_1 + c_2 e^{-x}

para la particular propongo y_p = ax^2+bx+c
y'_p = 2ax + b
y''_p = 2a

reemplazo
2a + 2ax + b = 2x + 2
2ax + 2a+b = 2x + 2
de donde sale al comparar coeficientes
2a=2
2a+b = 2
o sea
a=1
b=0

por lo tanto una SP es de la forma
y_p = x^2

La SG es de la forma
y = y_h + y_p
y = c_1 + c_2 e^{-x} + x^2
derivando
y' = -c_2 e^{-x} + 2x

En el punto (0,1)
1 = c_1 + c_2
considerando y'(0) = 2
2 = -c_2

de donde sale que
c_2 = -2
c_1 = 3

por lo tanto la SP buscada es
y = 3 - 2 e^{-x} + x^2

verifico
y' = 2e^{-x} + 2x
y'' = -2e^{-x} + 2
reemplazo
-2e^{-x} + 2 + 2e^{-x} + 2x = 2x+2
lo cual verifica la ecuación diferencial.

b) Sea C la curva de ecuación X = (x,f(x), 2-x) con 0.5 \leq x \leq 2 donde y=f(x) es la solución de xy'=2 que pasa por (1,0). Analice si la recta tangente a C en (1,0,z_0) interseca al plano de ecuación z=y

Primero resolvemos la ecuación diferencial
xy'=2
y' = 2/x
y = 2 \ln|x| + c
como pasa por (1,0)
0 = c
por lo tanto
y = 2\ln|x|
por lo tanto la curva queda
X = C(x) = (x, 2\ln|x|, 2-x)

En el punto (1,0,z_0) se tiene que dar que x=1 y z_0 = 1 por lo tanto un punto que pertenece a la curva es (1,0,1)

Derivamos la curva
C'(x) = (1, 2/x, -1)
C'(1) = (1,2,-1)

por lo tanto la recta tangente es
r(\lambda) = (1,0,1) + \lambda(1,2,-1)
= (1+\lambda, 2\lambda, 1 -\lambda)

Verificamos si interseca al plano z=y
1-\lambda = 2\lambda
3 \lambda = 1
\lambda = 1/3

Por lo tanto interseca al plano, lo hace en el punto
r(1/3) = (4/3, 2/3, 2/3)

2) a) Mediante el cambio de variables definido por (x,y) = (v-u, v+u), D_{xy} se transforma en D_{uv}. Sabiendo que \iint_{D_{xy}} y-x \ dxdy = 12, calcule \iint_{D_{uv}} u \ dudv.