Fecha próximo final

Ya se han definido las fechas de examen final del turno Septiembre 2010 y, para nuestra UDB, las mismas son:

  • Análisis Matemático I y Probabilidad y Estadística: Jueves 23 de Septiembre de 2010
  • Análisis Matemático II y Algebra y Geometría Analítica: Viernes 24 de Septiembre de 2010

Todas las mesas se toman en Campus a las 19.00 hs.

Tp.1 Ej.4.c

4) Halle la ecuación diferencial de la familia de…
c) …circunferencias que pasan por el origen y tienen su centro en la recta y=k, con k dato conocido.

Solución:
Primero escribo la ecuación de la circunferencia de centro (x_0, y_0) y radio r:
(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2

Como el centro está sobre la recta y=k,es de la forma:
(x-x_0)^2+(y-k)^2=r^2

Como pasa por el origen debe cumplir:
(-x_0)^2+(-k)^2=r^2
es decir
x_0^2+k^2=r^2

Reescribo la circunferencia como: (llamo c=x_0 por ser la constante indeterminada de la familia)
(x-c)^2+(y-k)^2 = c^2 + k^2 \ \ \ (1)
derivando respecto de x:
2(x-c) + 2(y-k)y' = 0
despejo la constante
x-c + (y-k)y' = 0
c = x + (y-k)y'
y la reemplazo en (1):
(x-x-(y-k)y')^2+(y-k)^2 = (x+(y-k)y')^2 + k^2
reacomodando términos:
(y-k)^2y'^2+(y-k)^2 = x^2 + 2x(y-k)y' + (y-k)^2y'^2 + k^2
(y-k)^2 = x^2 + 2x(y-k)y' + k^2
y^2 - 2yk + k^2 = x^2 + 2x(y-k)y' + k^2
y^2 - 2yk - x^2 = 2x(y-k)y'
que es la ecuación diferencial pedida.

Tp.1 Ej.2.c

02) Verifique que
c) y^2 = C_1 x + C_2 es S.G. de y y'^2 + y^2 y'' = 0. Halle la S.P. que en (1,y_0) tiene recta tangente de ecuación y = 2x-1

Solución

Primero derivamos la solución general:
\begin{matrix} 2yy' = C_1 & (1) \\ 2(y' y' + y y'') = 0 & (2) \end{matrix}

De la ecuación (2) sale que:
y'^2 + y y'' = 0
multiplicando por y nos queda la misma ecuación diferencial, lo cual verifica que se trataba de la solución general.

Para hallar la S.P. primero averiguamos y_0 teniendo en cuenta que la recta tangente debe pasar por (1,y_0)
y = 2x-1
y_0 = 2-1 = 1
Además, de la recta tangente sale que
y'(1) = 2
Reemplazando todo esto en la ecuación (1)
2yy' = C_1
2 \cdot 1 \cdot 2 = C_1
C_1 = 4
Y ahora reemplazamos todo en la solución general
y^2 = C_1 x + C_2
1^2 = 4 \cdot 1 + C_2
C_2 = -3
Finalmente, obtenemos la S.P:
y^2 = 4x - 3

Final 03/08/2010

Antes que todo gracias a Mariano y Alejandra por enviarme el enunciado de este final.

Primero publico la resolución que me pasó Alejandra del profesor Santamartina

Lo que sigue es lo que llegué a resolver hasta que me llegó la resolución del final, para los últimos ejercicios miren la resolución de arriba.

Solución: (de la parte práctica)

1) a) Siendo y=x^2 una SP de y'' + by' = 2x+a, halle la SP que en el punto (0,1) tiene pendiente y'(0) = 2

Primero verifico que sea SP
y = x^2
y' = 2x
y'' = 2

reemplazo
2 + b2x = 2x + a

de donde sale b=1 y a=2, por lo tanto la ecuación diferencial es
y'' + y' = 2x+2

es una ecuación diferencial lineal ordinaria de 2do orden, el polinomio característico es
\alpha^2 + \alpha = 0
de donde sale
\alpha_1 = 0 y \alpha_2 = -1
por lo tanto la ecuación diferencial homogénea asociada tiene solución general
y_h = c_1 + c_2 e^{-x}

para la particular propongo y_p = ax^2+bx+c
y'_p = 2ax + b
y''_p = 2a

reemplazo
2a + 2ax + b = 2x + 2
2ax + 2a+b = 2x + 2
de donde sale al comparar coeficientes
2a=2
2a+b = 2
o sea
a=1
b=0

por lo tanto una SP es de la forma
y_p = x^2

La SG es de la forma
y = y_h + y_p
y = c_1 + c_2 e^{-x} + x^2
derivando
y' = -c_2 e^{-x} + 2x

En el punto (0,1)
1 = c_1 + c_2
considerando y'(0) = 2
2 = -c_2

de donde sale que
c_2 = -2
c_1 = 3

por lo tanto la SP buscada es
y = 3 - 2 e^{-x} + x^2

verifico
y' = 2e^{-x} + 2x
y'' = -2e^{-x} + 2
reemplazo
-2e^{-x} + 2 + 2e^{-x} + 2x = 2x+2
lo cual verifica la ecuación diferencial.

b) Sea C la curva de ecuación X = (x,f(x), 2-x) con 0.5 \leq x \leq 2 donde y=f(x) es la solución de xy'=2 que pasa por (1,0). Analice si la recta tangente a C en (1,0,z_0) interseca al plano de ecuación z=y

Primero resolvemos la ecuación diferencial
xy'=2
y' = 2/x
y = 2 \ln|x| + c
como pasa por (1,0)
0 = c
por lo tanto
y = 2\ln|x|
por lo tanto la curva queda
X = C(x) = (x, 2\ln|x|, 2-x)

En el punto (1,0,z_0) se tiene que dar que x=1 y z_0 = 1 por lo tanto un punto que pertenece a la curva es (1,0,1)

Derivamos la curva
C'(x) = (1, 2/x, -1)
C'(1) = (1,2,-1)

por lo tanto la recta tangente es
r(\lambda) = (1,0,1) + \lambda(1,2,-1)
= (1+\lambda, 2\lambda, 1 -\lambda)

Verificamos si interseca al plano z=y
1-\lambda = 2\lambda
3 \lambda = 1
\lambda = 1/3

Por lo tanto interseca al plano, lo hace en el punto
r(1/3) = (4/3, 2/3, 2/3)

2) a) Mediante el cambio de variables definido por (x,y) = (v-u, v+u), D_{xy} se transforma en D_{uv}. Sabiendo que \iint_{D_{xy}} y-x \ dxdy = 12, calcule \iint_{D_{uv}} u \ dudv.