Final 01/03/2010

Solución: (de la parte práctica)

1) a) \int_{-\pi/2}^{\pi/4}d\phi \int_0^{2} \rho^2 d\rho planteada en coordenadas polares, dibuje la región de integración, y plantee la integral en coordenadas cartesianas.

El gráfico es:

draw2d(
parametric(2*cos(t), 2*sin(t), t, -%pi/2, %pi/4),
parametric(t, t, t, 0, sqrt(2))
);

Como en el integrando aparece \rho^2 y un \rho es del jacobiano, la función del integrando en cartesianas presenta \sqrt{x^2+y^2}

La podemos escribir de la siguiente manera:

\int_{-\pi/2}^{\pi/4}d\phi \int_0^{2} \rho^2 d\rho = \int_{-2}^0 dy \int_0^{\sqrt{4-y^2}} \sqrt{x^2+y^2}dx + \int_0^{\sqrt{2}}dy \int_{y}^{\sqrt{4-y^2}} \sqrt{x^2+y^2}dx

Por ahora pongo los resultados que daban estos ejercicios:

1)b) Se podía hacer parametrizando la esfera, o proyectando sobre el plano xy, el área daba \frac{15}{2}\pi

2) Quedaba f'_x = f'_y = -1/3 y finalmente f(1.99, -0.96) \approx 0.99

3) La curva quedaba y = 4x+2 y la circulación quedaba 8

4) El campo \vec{f} \in C^1 es tal que div \vec{f}(x,y,z) = 6, calcule el flujo de \vec{f} a través de la superficie de ecuación z=2 con x^2 + y^2 \leq 4^2 orientada hacia z^+; siendo, con igual orientación, \iint_{\Sigma} \vec{f} \cdot \vec{n} d\sigma = 8\pi para \Sigma: z=18-x^2-y^2, z \geq 2

Sabemos que:
\iint_S \vec{f}\cdot dS + \iint_{\Sigma} \vec{f} \cdot dS = \iiint_V div(f) dV

o sea:

\iint_S \vec{f}\cdot dS + 8\pi = \iiint_V div(f) dV

Veamos como se intersecta el paraboloide con el plano:
2 = 18-x^2-y^2
x^2 + y^2 = 16
es decir una circunferencia de radio 4 en el plano z=2, que es la superficie sobre la cual queremos el flujo, podemos considerar \Sigma como la tapa y aplicar divergencia.

La divergencia nos da:
6 \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^4 \rho d\rho \int_2^{18-\rho^2} dz
12\pi \int_0^4 \rho(18-\rho^2-2) d\rho
12\pi \left[ 8\rho^2 - \frac{\rho^4}{4} \right]_0^4 = 768\pi

Por lo tanto:
\iint_S \vec{f}\cdot dS = 768\pi - 8\pi = 760\pi

pero hay que tener en consideración que la divergencia nos da el flujo saliente, y por lo tanto estamos considerando el flujo hacia los z^- sobre el plano z=2, por lo tanto el flujo con la orientación z^+ es de -760\pi

El siguiente gráfico muestra la superficie S en celeste, y \Sigma en azul:


draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "blue",
parametric_surface(u*cos(v),u*sin(v),18-u^2,
u, 0, 4, v, 0, 2*%pi),
color = "light-blue",
parametric_surface(u*cos(v),u*sin(v),2,
u, 0, 4, v, 0, 2*%pi)
);

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18 comentarios en “Final 01/03/2010

  1. Hola Damián que tal, te quería consultar sobre el 1.a), en la parametrización, vos decís que como es \delta^2 entonces la original es \sqrt{x^2 + y^2} , yo quise desarrollar esto, entonces llegue a que x=\delta^2 cos \mu , y=\delta^2 sen \mu , y por otro lado la ecuacion que representa la circunferencia es x^2+y^2=4 , como obtengo esa raíz que vos decís?

  2. Ah creo que ahi lo entendi, vos asumiste un \delta por el jacobiano, y luego en base a la transformación, despejaste cuando sería el otro \delta

    Ahora sí…
    Cuando puedas podrías poner como resolverías el 1.b)? Al menos explicandolo con palabras? Porque nosé si encararlo como implícita para encontrar la normal e integrar, o parametrizando de alguna manera…

    Gracias!

    • Hola Nico,
      El 1.b) yo lo encararía parametrizando la esfera (partís de coordenadas esféricas y fijás el radio en 5)
      Sacás la normal con el producto vectorial de los vectores tangentes S'_{\phi} y S'_{\theta} y de eso sacás la norma (como siempre) para armarte el diferencial de superficie.
      Es decir la parametrización te va a quedar en función de dos ángulos \phi y \theta, fijate que \phi va a ir de 0 a \pi/4 porque está en el 1º octante, por otro lado \theta (que en esféricas parte del eje z y llega hasta -z, es decir recorre de 0 a \pi) no va a partir de 0 sino que tenés que sacar el ángulo de partida según el ángulo que te queda al cortar la esfera con el plano z=3, y va a llegar a \pi/2 por estar en el 1º octante. Espero te sirva de orientación.
      También es posible sacarlo con implícita pero tendrías que hacerlo en dos partes, una para el pedazo de “arriba” del plano xy, y otra para la sección de semiesfera que queda abajo del plano.
      Saludos,
      Damián.

  3. buenas! alguien sabe como se resuelve el 1) b) de este final?
    lo estuve buscando en resueltos de otros finales, y teorias resueltas y no lo encuentro,

    teorema de cambio de variables para integrales dobles, si lo vemos en la clase con otro nombre diganmelo asi lo busco ,
    o si lo saben pasenlo por aca o a mi email, facapo22@hotmail.com

    muchas gracias!

  4. hola! alguien entiende el 1 b) la funcion me dio raiz(x^2 + y^2 ) pero no entiendo como transformar los limites de integracion que tendria la cartesiana…
    Gracias!!

  5. damian te hago una consulta con el 4:

    vos igualas “fS + fE =vol . div” … pero esos dos flujos no son los entrantes? es decir no habria q igualar:

    “fS+fE = – (vol . div)” ??

    saludos.

  6. Lucho:El pto 4 me da -776pi, a vos te da asi? porq cambie el signo de entrada en la divergencia. Sera correcto?o se debe cambiar al final?

    Saludos

  7. Dami, el ejercio 1 b) obtengo un resultado igual a 5 pi. Resuelvo una integral que va de 0 a pi/2 y otra que va de 0 a 4. En su interior me queda 5.p / raiz cuadrada de 25-p².
    No se en que me pude haber equivocado.

    • Pense que reemplazando z= 3 en la ecuacion de la esfera obtenia la ecuacion de una circuferencia de radio 16 y de ahi tomaba los limites de la integracion que te comente.
      Como hiciste analiticamente para llegar a ro es de 4 a 5?

      Gracias!

    • Agos, el radio de la circunferencia que te queda es 4.
      Los límites de integración para \rho salen de considerar z \leq 3 junto con x^2 + y^2 + z^2 = 25
      Se tiene que
      x^2 + y^2 + z^2 = 25 \leq x^2 + y^2 + 9
      x^2 + y^2 \geq 25 - 9 = 16
      Por lo que \rho \geq 4
      Por otro lado como es el 1º octante sabemos que z \geq 0, de ahí que
      x^2 + y^2 + z^2 = 25 \geq x^2 + y^2
      x^2 + y^2 \leq 25
      de donde sale que \rho \leq 5

  8. Recien me di cuenta tengo que considerar z = o por tratarse del primer octante de ahi reemplazo en las ecuaciones y obtengo una circunferencia de radio 5. Es asi?

  9. Tengo un problema de calculo de area que dice lo siguiente: Calcular el area de la porcion de cono x^2 + y^2 = 3 z^2, interior al cilindro x^2 +y^2 = 4y con z \geq 0.

    obtuve \Delta F=(2x,2y,-6z). la \left|{\Delta F=(2x,2y,-6z))} \right|= 4\sqrt{3}z, \left| {F'z} \right|=6z
    Los limites de integracion \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \int_0^{4 sen\theta} 2/3 \sqrt{3} dx dy

    Son correctos los limites? gracias

    • Agos, me alegra que estés empezando a escribir con Latex. Te olvidastes de escribir los tags, es decir para que se muestre la imagen tenés que escribir $_latex (sin el guión _ ), el código, y después cerras el tag con un sólo $.
      Además había algún que otro error de parseo ( \left| no lleva espacio entre \left y |).
      Creé una entrada para que cualquiera pueda practicar comandos latex en este post.

      Respecto del ejercicio, no parecen estar bien los límites de integración, deberías poner más detalle de como llegastes así no tengo que resolverlo todo para saber si está bien. Por lo pronto adentro de la integral puesistes dxdy cuando supongo que quisistes poner d\phi d\rho (en polares)

      Por otro lado:
      || \nabla F || = \sqrt{4x^2 + 4y^2 + 36/3 (x^2 + y^2)} =
      = \sqrt{4x^2 + 4y^2 + 12 (x^2 + y^2)}
      pasando a polares:
      = \sqrt{16 \rho^2} = 4 \rho

      Intentá seguir a partir de ahí.
      Saludos,
      Damián.

  10. Hola Dami, para calcular la curva y=4x+2 consideraste la solucion homogenia?

    Cuando calcule la homogenea me quedo yh= A+e exp(-x)
    Cuando calcule la yp=4x
    Si las sumo no obtengo la cuva y=4x+2.
    El profesor en clase nos explico que para resolver una ec dif de segundo orden hay que calcular la yh e yp.

    Gracias

    • En este caso (ejercicio 3) la ec. dif. es y'' + y' = 4, así que sale también por “reducción de orden” mediante la sustitución w=y' y la trabajas como una lineal de 1º orden.

      Y sinó la trabajás como de 2º orden:
      y_h = A + B e^{-x}
      y_p = 4x

      y_g = A + B e^{-x} + 4x

      Pasa por (0,2) y (1,6) entonces queda el sistema
      2 = A + B
      6 = A + B e^{-1} + 4
      de la primera
      B = 2-A
      reemplazo en la segunda y despejo:
      6 = A + (2-A) e^{-1} + 4
      2 = A + 2e^{-1} - Ae^{-1}
      2 - 2e^{-1} = A(1-e^{1})
      A=2
      B = 0

      y te queda
      y = 2 + 4x

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