Final 01/03/2010

Solución: (de la parte práctica)

1) a) \int_{-\pi/2}^{\pi/4}d\phi \int_0^{2} \rho^2 d\rho planteada en coordenadas polares, dibuje la región de integración, y plantee la integral en coordenadas cartesianas.

El gráfico es:

draw2d(
parametric(2*cos(t), 2*sin(t), t, -%pi/2, %pi/4),
parametric(t, t, t, 0, sqrt(2))
);

Como en el integrando aparece \rho^2 y un \rho es del jacobiano, la función del integrando en cartesianas presenta \sqrt{x^2+y^2}

La podemos escribir de la siguiente manera:

\int_{-\pi/2}^{\pi/4}d\phi \int_0^{2} \rho^2 d\rho = \int_{-2}^0 dy \int_0^{\sqrt{4-y^2}} \sqrt{x^2+y^2}dx + \int_0^{\sqrt{2}}dy \int_{y}^{\sqrt{4-y^2}} \sqrt{x^2+y^2}dx

Por ahora pongo los resultados que daban estos ejercicios:

1)b) Se podía hacer parametrizando la esfera, o proyectando sobre el plano xy, el área daba \frac{15}{2}\pi

2) Quedaba f'_x = f'_y = -1/3 y finalmente f(1.99, -0.96) \approx 0.99

3) La curva quedaba y = 4x+2 y la circulación quedaba 8

4) El campo \vec{f} \in C^1 es tal que div \vec{f}(x,y,z) = 6, calcule el flujo de \vec{f} a través de la superficie de ecuación z=2 con x^2 + y^2 \leq 4^2 orientada hacia z^+; siendo, con igual orientación, \iint_{\Sigma} \vec{f} \cdot \vec{n} d\sigma = 8\pi para \Sigma: z=18-x^2-y^2, z \geq 2

Sabemos que:
\iint_S \vec{f}\cdot dS + \iint_{\Sigma} \vec{f} \cdot dS = \iiint_V div(f) dV

o sea:

\iint_S \vec{f}\cdot dS + 8\pi = \iiint_V div(f) dV

Veamos como se intersecta el paraboloide con el plano:
2 = 18-x^2-y^2
x^2 + y^2 = 16
es decir una circunferencia de radio 4 en el plano z=2, que es la superficie sobre la cual queremos el flujo, podemos considerar \Sigma como la tapa y aplicar divergencia.

La divergencia nos da:
6 \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^4 \rho d\rho \int_2^{18-\rho^2} dz
12\pi \int_0^4 \rho(18-\rho^2-2) d\rho
12\pi \left[ 8\rho^2 - \frac{\rho^4}{4} \right]_0^4 = 768\pi

Por lo tanto:
\iint_S \vec{f}\cdot dS = 768\pi - 8\pi = 760\pi

pero hay que tener en consideración que la divergencia nos da el flujo saliente, y por lo tanto estamos considerando el flujo hacia los z^- sobre el plano z=2, por lo tanto el flujo con la orientación z^+ es de -760\pi

El siguiente gráfico muestra la superficie S en celeste, y \Sigma en azul:


draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "blue",
parametric_surface(u*cos(v),u*sin(v),18-u^2,
u, 0, 4, v, 0, 2*%pi),
color = "light-blue",
parametric_surface(u*cos(v),u*sin(v),2,
u, 0, 4, v, 0, 2*%pi)
);