Final 22/02/2010

Solución: (de la parte práctica)

Por ahora agrego el 1)b)

1) b) Dado
f(x,y,z) = (x + \varphi(2x-y), y+2\varphi(2x-y), 3z+\varphi(x+2y)), calcule el flujo de f a través de la superficie frontera del cuerpo definido por 3 \geq z \geq 2+x^2+y^2. Indique si dicho flujo es entrante o saliente.

En el enunciado de este ejercicio faltó aclarar que \varphi \in C^1 pero podemos asumirlo y por ende aplicar el teorema de la divergencia (dado que la superficie es cerrada por ser la frontera de un cuerpo)

div(f) = 1 + \varphi'(2x-y)2 + 1 - 2\varphi'(2x-y) + 3
= 5

O sea que el flujo saliente total es equivalente a 5 veces el volumen del cuerpo.

Veamos como se intersectan las superficies:
z = 2 + x^2 + y^2
z = 3
reemplazando:
3 = 2 + x^2 + y^2
x^2 + y^2 = 1
Es una circunferencia unitaria sobre el plano z=3, la proyección sobre el plano xy en este caso viene dada por dicha circunferencia, por lo tanto integrando en coordenadas cilíndricas el flujo pedido es:

5 \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^1 \rho d\rho \int_{2+\rho^2}^3 dz
5 \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^1 \rho(3 - (2+\rho^2)) d\rho
5 \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^1 \rho(3 - 2 - \rho^2) d\rho
5 \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^1 \rho - \rho^3 d\rho
5 \cdot 2\pi \left[ \frac{\rho^2}{2} - \frac{\rho^4}{4} \right]_0^1 = \frac{5}{2}\pi

El gráfico del cuerpo es

draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "blue",
parametric_surface(u*cos(v),u*sin(v),2+u^2,
u, 0, 1, v, 0, 2*%pi),
parametric_surface(u*cos(v),u*sin(v),3,
u, 0, 1, v, 0, 2*%pi)
);

Agrego el 3

3) Sea \vec{f} = \vec{g} + \vec{h} con \vec{g}, \vec{h} \in C^1, sabiendo que \vec{g} es un campo de gradientes y que \vec{h}(x,y) = (x-y, x), calcule \oint_{C^+} \vec{f}\cdot\vec{ds} si la ecuación de C es \vec{X} = (2\cos(t), 3\sin(t)) con 0 \leq t \leq 2\pi

Como la curva es una elipse de semiradios 2 y 3, es cerrada, veamos si podemos aplicar el Teorema de Green.
green(f) = green(g) + green(h)

Como \vec{g} = (P,Q) es un campo de gradientes lo podemos escribir como \vec{g} = \nabla \varphi donde \varphi'_x = P y \varphi'_y = Q, y como \vec{g} \in C^1 entonces \varphi \in C^2. Luego, si le aplicamos Green obtenemos Q'_x - P'_y = \varphi''_{yx} - \varphi''_{xy} que es igual a 0 por el teorema de Schwarz.

Por otro lado green(h) = 1 - (-1) = 2

O sea que green(f) = 0 + 2 = 2

Por lo tanto la circulación pedida va a ser equivalente al doble del área de la elipse, o sea 2 \cdot (2 \cdot 3 \cdot \pi) = 12\pi.

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24 comentarios en “Final 22/02/2010

    • Hola Ivan,
      Ahí lo acabo de agregar el 3). La parte del campo h también se podía hacer sin utilizar Green, o sea por circulación directa, pero de esta forma no hace falta ni integrar.
      Saludos,
      Damián.

    • Hola Pedro,
      Tenés que aplicar la regla de la cadena para hallar el \nabla h(1,2), y luego simplemente usas la propiedad de que como h \in C^1 entonces h'((1,2), (0.6, 0.8)) = \nabla h(1,2) \cdot (0.6, 0.8)
      Saludos,
      Damián.

    • El 2a es teórico, buscalo en algún libro o por internet xq es largo para pasartela por aca. Con respecto al b, no es necesario que busques la familia, ya te está dando como dato al decirte que la pendiente es y/x, que esa justamente es la derivada. Entonces vos sabes la para hallar la flia de curvas ortogonales tenés que buscar la pendiente opuesta e inversa, o sea, 1/y` = y/x. Ahí integras y después reemplazas el punto que te dan para hallar la constante y obtenés la curva x^2 + y^2=9. Después la parametrizas y con la integral buscas la longitud.Planteas la integral con los límites del dominio y buscas el módulo de la función vectorial derivada que es la curva parametrizada y resolves. Tiene que darte 6pi.saludos!

  1. Alguien hizo el 4)? A mi me dio 16x(raiz de 24)…
    En cuanto al 1)a) me dio -0.2, no -1.8, el gradiente de h les dio (-3,2)? Porque eso multiplicado por la direccion (0.6,0.8), da -0.2…

    Gracias!

    • Veo que estan comentando sobre el ejercicio 4, a mi me queda resolviendo la integral de superficie 2.raíz de 5. Mi integral doble queda raíz de 5 afuera(sale de hacer 1/cosnz, puede usarse esa o cualquier otra fórmula) y los límites de integración: 0<X<2 e 2-x<y<2. Saludos

    • Si, en el 1)a) tenes razon, ya encontre mi error. Pero en el 4, si, el plano tg me quedo igual, y encontre un error en los limites de integracion, pero ahora me dio 48. Como te quedaron los limites de integracion? A mi me quedaron 0<x<2 una, y la otra 4-x<y<-4-x

      Gracias por el feedback!

    • Veo que estan comentando sobre el ejercicio 4, a mi me queda resolviendo la integral de superficie 2.raíz de 5. Mi integral doble queda raíz de 5 afuera(sale de hacer 1/cosnz, puede usarse esa o cualquier otra fórmula) y los límites de integración: 0<X<2 e 2-x<y<2. Saludos

    • el 2b) me dio 6\pi
      Fijate la curva queda: x^2 + y^2 = 9 que es una circunferencia de radio 3, por lo tanto la long de la circ. es 2 . \pi . r = 2 . \pi . 3 = 6\pi (en el ej. igual pide sacar la long con una integral lo hice asi para hacerlo mas rapido aca)

  2. Hola.

    ¿ En el punto 3 bastaba con poner como hipotesis que G al ser un campo de gradientes, la circulacion sobre cualquier curva cerrada = 0 ?

    Gracias.

    • Hola Sergio,
      La circulación de un campo de gradientes sobre una curva cerrada es siempre 0 porque un campo de gradientes siempre es conservativo (ya que admite función potencial), incluso aunque el espacio en cuestión no sea simplemente conexo (que en este ejercicio no aclaraba).
      Saludos,
      Damián.

  3. Hola!! Cuanto da el pto 4 ? ¿como calcular los limites de integracion? no me queda claro cuando dice (x, y, z) pertenece a [0,2] x [0,2] x [0,4]…?
    El plano tangente me queda -2x-2y-z+4 = 0 y luego no se como sacar los limites de integracion …
    Gracias!!

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