Final 15/02/2010

Solución: (de la parte práctica)

NOTA: Por ahora hice solo los ejercicios 3 y 4. Si alguien sube la resolución de algún otro ejercicio de este final lo agrego al post.

3) Dado f \ / \ f(x,y,z) = (g(x)+z, g(y) + xz, g(z) + y) con g' continua, calcule la circulación de f a lo largo de la curva intersección de z = \sqrt{x^2 + y^2} con x^2 + y^2 + z^2 = 50. Indique gráficamente con qué orientación decidió circular.

Veamos como se intersectan las superficies:
z = \sqrt{x^2 + y^2}
x^2 + y^2 + z^2 = 50
Reemplazando la primer ecuación en la segunda:
x^2 + y^2 + x^2 + y^2 = 50
x^2 + y^2 = 25
en la primer ecuación:
z = 5
O sea es una circunferencia de radio 5, en el plano z=5

Como es una curva cerrada, veamos que pasa si aplicamos stokes.
rot(f) = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ g(x) + z & g(y) + xz & g(z) + y \end{matrix} \right|

= (1-x, 1, z)

Vamos a tomar como superficie para stokes al plano z=5, el vector normal es N = (0,0,1), por lo tanto el producto escalar del integrando nos da:
f \cdot N = z
Pero como estamos en el plano z=5, en toda la superficie el integrando vale 5.
Por lo tanto la circulación pedida equivale a 5 veces el área de una circunferencia de radio 5, o sea 125\pi (con la orientación de la superficie hacia los z^+).

4) Calcule el volumen del cuerpo definido por y^2 + z^2 \leq 9, z \geq |x|

Si lo pensamos en cilíndricas:
x = x
y = \rho \cos(\phi)
z = \rho \sin(\phi)

Las restricciones se traducen en:
\rho^2 \leq 9 o sea 0 \leq \rho \leq 3
|x| \leq \rho \sin(\phi)
o sea
-\rho\sin(\phi) \leq x \leq \rho\sin(\phi)

Por lo tanto el volumen viene dado por:
\int_0^{\pi} d\phi \int_0^3 \rho d\rho \int_{-\rho\sin(\phi)}^{\rho\sin(\phi)} dx

2\int_0^{\pi} \sin(\phi) d\phi \int_0^3 \rho^2 d\rho

2 \left[ -\cos(\phi) \right]_0^{\pi} \left[ \frac{\rho^3}{3} \right]_0^3

= 2 (1-(-1)) 9 = 36

El siguiente gráfico muestra el cuerpo en celeste, y la proyección sobre el yz en rojo:

reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
reparametrize(x,3*cos(v),3*sin(v),
v, 0, %pi, x, -3*sin(v), 3*sin(v)),
reparametrize(u*sin(v),u*cos(v),u*sin(v),
u,0,3, v,0,%pi),
reparametrize(-u*sin(v),u*cos(v),u*sin(v),
u,0,3, v,0,%pi),
color=red,
reparametrize(-3,u*cos(v),u*sin(v),
u,0,3, v,0,%pi)
);

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14 comentarios en “Final 15/02/2010

  1. Hola, damian, como va? Una pregunta del ejercicio 4…
    Vos como te diste cuenta que el limite de integracion del angulo tenia que ser entre 0 y pi??

    Despues de leer tu resolucion entendi que como z >= |x|, z nunca podia ser un valor negativo, y los valores de seno >= 0 ocurren entre 0 y pi. Es asi como uno se tiene que dar cuenta? o hay algun metodo mas algebraico para sacarlo??

    Muchas gracias!

  2. Hola que tal, el ejercicio 4 no da 18?
    A proposito, si bien pude hacerlo, mi primer intento atine a parametrizar con esfericas, pero desisti cuando vi que usaste cilindricas. Yo lo hice suponiendo que tenemos el angulo formado por la mitad de circunferencia entre el plano yz, y por otro lado tenemos la “porcion de pizza” formada en el plano xz. No habria que recorrer la superficie con un angulo en z para el lado de y y otro para el lado de las x considerando la profundidad? No entiendo bien el criterio para decidir que tipo de parametrizacion conviene, es solo ver que es lo mas simple que se ajusta algebraicamente?

    • Hola Nico,
      A mi en el último paso me quedó 2 \cdot 2 \cdot 9 = 36, a vos te dió 18? (ojo, capaz me confundí en algo)
      No conozco una receta para elegir que parametrización usar para cada ejercicio, a veces es cuestión de probar, en este caso como había un cilindro lo más natural fué emplear coordenadas cilíndricas, y por suerte parece que funcionó. Con esféricas me parece que queda mas complicado, aunque probablemente también salga, aunque tal vez habría que rotar el sistema de coordenadas esféricas para que quede bien (para que la familia de planos coordenados queden sobre el eje x en vez del eje z)
      Espero te ayude y no te confunda más 😛
      Saludos,
      Damián.

  3. Hola, damian, otra cosa mas.

    Del ejercicio 1b que habiamos hablado ayer, hoy chequee la teoria del flax y entendi lo que me decias.

    Segun el flax, vos podes obtener un campo vectorial a partir de un campo escalar usando el operador gradiente. La campos vectoriales obtenidos de este modo son campos gradientes, que son conservativos.

    Ahora, yo me doy cuenta que este es precisamente el caso porque el ej nos aclara que el campo f es escalar (conjunto de nivel 2), y el campo vectorial es gradiente de f. (por favor corregime si estas NO son las raznes para considerar que se trata de un campo gradiente)

    Despeje g(x) con la matriz jacobiana y me dio que g(x) = 3(e^x), luego integre los componentes del campo gradiente y me dio que el campo escalar f(x) = 3(e^x).sen(y). Si queres avisame y comparto la resolucion.

    Saludos!

  4. Hola Damian,

    Te paso la resolucion parcial del ejercicio 2 a) del final con fecha 15/02/2010:

    x y’ + y = 4x con SP: y=2x

    Entonces

    y= 2x
    y’ = 2

    Reemplazo en la ED => 2x + 2x = 4x (verifica). Es SP de x y’ + y = 4x

    Saludos.

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