Tp.10 Ej.1.c

Proponga alguna fórmula para el cálculo del área de regiones planas mediante integrales de línea y aplíquela para calcular el área de las regiones definidas por:

c) x^2 + y^2 \leq 4, x^2 + y^2 \geq 2x, x \geq 0

Solución:

Analizando la segunda ecuación:
x^2 + y^2 \geq 2x
Completando cuadrados:
x^2 - 2x + y^2 \geq 0
(x-1)^2 + y^2 \geq 1

Para calcular el área mediante Green voy a usar el campo vectorial:
f(x,y) = (\frac{-y}{2}, \frac{x}{2})

Por simetría respecto del eje x, vamos a hacerlo en el 1º cuadrante, y al final multiplicamos por 2 para obtener el área total.

Separamos la curva frontera de la región en 3 curvas regulares, y calculamos la circulación del campo sobre cada una de ellas.

C_1(t) = (\cos(t)+1, \sin(t)) con 0 \leq t \leq \pi
C'_1(t) = (-\sin(t), \cos(t))
f(C_1(t)) = (\frac{-\sin(t)}{2}, \frac{\cos(t)+1}{2})
f(C_1(t)) \cdot C'_1(t) = \frac{\sin^2(t)}{2} + \frac{\cos^2(t) + \cos(t)}{2}
= \frac{1}{2} + \frac{\cos(t)}{2}
\int_0^{\pi} \frac{1}{2} + \frac{\cos(t)}{2} dt
\left[ \frac{1}{2}t + \frac{\sin(t)}{2} \right]_0^{\pi}
= \frac{\pi}{2}
Como la recorrimos en la orientación contraria a la positiva, le cambiamos el signo, por lo tanto la circulación sobre C_1 es \frac{-\pi}{2}

C_2(t) = (2\cos(t), 2\sin(t)) con 0 \leq t \leq \pi/2
C'_2(t) = (-2\sin(t), 2\cos(t))
f(C_2(t)) = (\frac{-2\sin(t)}{2}, \frac{2\cos(t)}{2})
f(C_2(t)) \cdot C'_2(t) = 2\sin^2(t) + 2\cos^2(t) = 2
2 \int_0^{\pi/2} dt = \pi

C_3(t) = (0, 2-t) con 0 \leq t \leq 2
C'_3(t) = (0,-1)
f(C_3(t)) = (\frac{t-2}{2}, 0)
f(C_3(t)) \cdot C'_3(t) = 0
\int_0^2 0 dt = 0

Por lo tanto el área sobre la región en el 1º cuadrante es:
\frac{-\pi}{2} + \pi + 0 = \frac{\pi}{2}

Para calcular el área total multiplicamos por 2 y es:
Area(D) = \pi

El gráfico de la región es:

draw2d(
parametric(2*cos(t), 2*sin(t), t, 0, 2*%pi),
parametric(cos(t)+1, sin(t), t, 0, 2*%pi),
parametric(0, t, t, -2, 2)
);

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2 comentarios en “Tp.10 Ej.1.c

  1. damian, una consulta. Por qué el cambio en el sentido de C1? Lo justificas por el sentido, pero no me quedo bien claro. Me podrias dar una mano!?

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