Ejercicio de líneas de campo

Hallar las lineas de campo de f(x,y) = (x-y, x+y)

Solución:

Debemos resolver la ecuación diferencial:
y' = \frac{x+y}{x-y}

Veamos si se trata de una ecuación diferencial homogénea, para ello la función
f(x,y) = \frac{x+y}{x-y}
debe ser homogénea de grado 0, es decir:
f(tx, ty) = \frac{tx + ty}{tx - ty} = \frac{t}{t} f(x,y) = t^0 f(x,y)
por lo tanto si se trata de una ecuación diferencial homogénea.

Sustituyo:
y = zx
y' = z'x + z
en la ecuación diferencial:
z'x + z = \frac{x + zx}{x - zx}
z'x = \frac{1+z}{1-z} - z
= \frac{1+z - (1-z)z}{1-z}
= \frac{1+z - (z-z^2)}{1-z}
= \frac{1+z - z+z^2}{1-z}
\frac{dz}{dx} x = \frac{1 + z^2}{1-z}
\frac{1-z}{1+z^2} dz = \frac{dx}{x}

\int \frac{1-z}{1+z^2} dz
\int \frac{1}{1+z^2} - \frac{z}{1+z^2} dz
= \arctan(z) - \frac{1}{2} \ln(z^2 + 1)
Como z = y/x
= \arctan(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \ln(\frac{y^2}{x^2} + 1)

Por lo tanto:

\arctan(\frac{y}{x}) - \frac{1}{2} \ln(\frac{y^2}{x^2} + 1) = \ln(x) + c

Podemos verificar que este resultado es consistente con la resolución del Wolfram Alpha

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