Tp.10 Ej.15.a

Analice si \vec{f} admite función potencial en su dominio natural; en “c” y “d” suponga \phi \in C^1:

a) \vec{f}(x,y) = \left( \frac{y}{(x-1)^2 + y^2}, \frac{1-x}{(x-1)^2 + y^2} \right)

Solución:

Primero calculamos el dominio natural de \vec{f}, para ello no debe anularse el denominador, por lo tanto el dominio es:

Dm(\vec{f}) = \mathbb{R}^2 - \{ (1,0) \}

La condición necesaria para que exista función potencial, es que la matriz jacobiana sea simétrica, o en \mathbb{R}^2, que el operador Green sea nulo, es decir, si \vec{f} = (P, Q) entonces

Q'_x - P'_y = 0
Q'_x = P'_y

Veamos si esto se cumple:
Q'_x = \frac{(-1)((x-1)^2 + y^2) - (1-x)(2x-2)}{((x-1)^2 + y^2)^2}
= \frac{(-1)(x^2 - 2x + 1 + y^2) - (2x-2-2x^2+2x)}{((x-1)^2 + y^2)^2}
= \frac{-x^2 + 2x - 1 - y^2 - 2x + 2 + 2x^2 - 2x}{((x-1)^2 + y^2)^2}
= \frac{x^2 - 2x + 1 - y^2}{((x-1)^2 + y^2)^2}

P'_y = \frac{(x-1)^2 + y^2 - 2y^2}{((x-1)^2 + y^2)^2}
= \frac{x^2 -2x + 1 - y^2}{((x-1)^2 + y^2)^2} = Q'_x

Por lo tanto se cumple la condición necesaria. Sería suficiente si el dominio fuera simplemente conexo, pero no lo es puesto que el mismo tiene un “agujero” en (1,0). Para saber si admite función potencial, faltaría calcular la circulación sobre un camino cerrado que “encierre” dicho punto.

Tomando una circunferencia unitaria centrada en (1,0):
C(t) = (\cos(t) + 1, \sin(t)) con 0 \leq t \leq 2\pi
C'(t) = (-\sin(t), \cos(t))

\vec{f}(C(t)) = (\sin(t), -\cos(t))

\vec{f}(C(t)) \cdot C'(t) = -1

Por lo tanto la circulación sobre dicha circunferencia es:

- \int_0^{2\pi} dt = -2\pi \neq 0

Como la circulación sobre un camino cerrado del dominio dió distinto de cero, el campo no es conservativo, y por lo tanto no admite función potencial en su dominio.

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3 respuestas a Tp.10 Ej.15.a

  1. Cecilia dijo:

    OK, tonces, primero buscas la condicion necesaria, si no se cumple, no es funcion potencial y si se cumple pero tenes problemas en el dominio natural que no es simplemente conexo, calculas la circulación por separado. Lo que no entendi muy bien, es donde metes el teorema de green, o el teorema de stokes en r3, porque si cumple la condicion necesaria, el calculo por green da 0, y mucho no te sirve. Lo del teorema de Green, se usa para justificar el tema de que al no ser simplemente conexo, y existe una curva para la cual la circulación no es nula, entonces el campo no es conservativo?

    • damidami dijo:

      Estás mezclando un poco las cosas:
      Si cumple la condición necesaria, el cálculo por green da 0, hasta ahí estamos bien, eso que significa? que en principio la circulación sobre cualquier camino cerrado que no encierre “agujeros” es cero.
      Lo que se hace aparte es una circulación común (sin green) que encierre el agujero para ver si también da cero y de esa forma admite función potencial en todo el dominio, o no.

  2. Hola Damián. Hay algo que no entiendo en este tipo de ejercicios en los que te piden analizar si un campo vectorial admite función potencial en su dominio. Hasta donde yo tengo entendido un campo admite función potencial si :

    1) el campo es de case C1 en una región simplemente conexa
    2) la matriz jacobiana asociada al campo es simétrica (o sea P’y = Q’x)

    Y acá viene mi duda. Como el dominio de este campo (que es todo R2 menos un punto) no es simplemente conexo, ¿Porqué hay que analizar si la circulación del campo ,alrededor de una curva cerrada que encierre el punto que no pertenece al dominio, vale cero o no, para saber si el campo admite función potencial? ¿No se puede decir directamente que, como la región que representa el dominio del campo es un conjunto que no es simplemente conexo, el campo no admitirá función potencial?

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