Ejercicio de Stokes

Miércoles, diciembre 2nd, 2009

Dado f(x,y,z) = (xz - 5\sin(y), h(x,z), -x\cos(y-2)) con h campo escalar C^{\infty}. Sea C la curva definida como intersección de las superficies de ecuaciones y = \sqrt{x^2 + 4z^2}, y = 6 - x^2 - 4z^2
Calcular la circulación del campo a lo largo de la curva C. Indique en un gráfico la orientación elegida para la curva.

Solución:

Veamos primero como se intersectan las superficies que forman la curva C

\begin{cases} y = \sqrt{x^2 + 4z^2} \\ y = 6 - x^2 - 4z^2 \end{cases}

De la segunda ecuación:
y = 6 - (x^2 + 4z^2)
= 6 - y^2
y^2 + y - 6 = 0
De donde sale que y_1 = 2 y y_2 = -3

Pero por la primer ecuación tenemos que y \geq 0 (por ser la raiz cuadrada de un número), por lo tanto la única solución válida es y = 2

Reemplazando en la primer ecuación:
2 = \sqrt{x^2 + 4z^2}
x^2 + 4z^2 = 4

Por lo tanto la curva es una elipse contenida en el plano y=2

Vamos a resolverlo por Stokes, nuestra supuerficie va a ser el plano y=2, como vamos a proyectar en el plano xz nuestro vector normal es N=(0,1,0)

Calculamos el rotor del campo:

rot(f) = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ xz - 5\sin(y) & h(x,z) & -x\cos(y-2) \end{matrix} \right|
= (x\sin(y-2) - h'_z, x + \cos(y-2), h'_x + 5 \cos(y))

Evaluamos el rotor campo sobre nuestra superficie y=2

rot(f(S(x,z))) = (-h'_z, x + 1, h'_x + 5\cos(2))

Ahora hacemos el producto escalar del rotor por el vector normal a la superficie:
rot(f) \cdot N = x + 1

Para integrar sobre la elipse propongo el siguiente cambio de coordenadas sobre la proyección:

T = \begin{cases} x = 2 \rho \cos(\phi) \\ z = \rho \sin(\phi) \end{cases}

Cuyo jacobiano es:
|J| = \left| \begin{matrix} 2\cos(\phi) & -2\rho\sin(\phi) \\ \sin(\phi) & \rho\cos(\phi) \end{matrix} \right| = 2\rho

Transformamos el integrando: x + 1 \rightarrow 2 \rho \cos(\phi) + 1

Finalmente, la integral nos queda:

\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^1 (2\rho)(2 \rho \cos(\phi) + 1) d\rho

4 \int_0^{2\pi} \cos(\phi) d\phi \int_0^1 \rho^2 d\rho + 2 \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^1 \rho d\rho

= 4 \left[ \sin(\phi) \right]_0^{2\pi} \left[ \frac{\rho^3}{3} \right]_0^1 + 4\pi \left[ \frac{\rho^2}{2} \right]_0^1

= 2\pi

El siguiente es el gráfico de las superficies (se graficó abierta para ver el plano en su interior)

draw3d(surface_hide=true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color=blue,
parametric_surface(2*u*cos(v),2*u, u*sin(v), v,%pi/4*0,2*%pi, u,0,1),
color=light-blue,
parametric_surface(2*u*cos(v),6-4*u^2, u*sin(v),v,%pi/4,2*%pi, u,0,1),
color=green,
parametric_surface(2*u*cos(v),2, u*sin(v), v,0,2*%pi, u,0,1)
);

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