Tp.7 Ej.6

Demuestre que si \vec{h} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n (n > 1) es derivable y ||\vec{h}|| es constante, \vec{h} \perp \vec{h}'

Solución:

Si \vec{h}(t) = (h_1(t), h_2(t), \ldots, h_n(t)), como

||\vec{h}|| = k

\sqrt{h_1^2 + h_2^2 + \ldots + h_n^2} = k

h_1^2 + h_2^2 + \ldots + h_n^2 = k^2

Dado el campo escalar F:\mathbb{R}^n \to\mathbb{R} definido por

F(x_1,x_2, \ldots, x_n) = x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2

se verifica que:

F(\vec{h}(t)) = k^2

Derivando con la regla de la cadena:

\nabla F(\vec{h}(t)) \cdot \vec{h}'(t) = 0

lo cual implica que \nabla F(\vec{h}(t)) \perp \vec{h}'

Pero \nabla F(\vec{h}(t)) \parallel \vec{h} pues

\nabla F = (2x_1, 2x_2, \ldots, 2x_n)

\nabla F(\vec{h}(t))= 2(h_1(t),h_2(t), \ldots, h_n(t)) = 2 \vec{h}(t)

Por lo tanto \vec{h} \perp \vec{h}' como queríamos mostar.

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