Tp.7 Ej.4

Entre los puntos (0,0,0) y (1,1,1), en la intersección del plano y=x con la supericie de ecuación z = 2y-x^2 con z \geq 0, se ha formado un hilo conductor eléctrico con resistividad lineal (\Omega/m) que en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al plano x=1. Calcule la resistencia eléctrica de dicho hilo conductor.

Solución:

Primero parametrizamos la curva:
C(t) = (t,t, 2t-t^2) con 0 \leq t \leq 1
El vector tangente es:
C'(t) = (1,1,2-2t)
Y su norma:
|C'(t)| = \sqrt{1^1+1^1 + (2-2t)^2}
= \sqrt{2 + 4 - 8t + 4t^2}
= \sqrt{6 - 8t + 4t^2}

La resistividad lineal es de la forma:
\delta(x,y,z) = k|1-x|
Como 0 \leq x \leq 1 podemos sacar el módulo:
\delta(x,y,z) = k(1-x)

Por lo tanto la resistividad eléctrica es:
\int_0^1 k(1-t) \sqrt{4t^2 - 8t + 6} dt

Si u = 4t^2 - 8t + 6
du = 8t - 8 dt
= 8(t-1)
= -8(1-t)

\frac{-k}{8} \int \sqrt{u} du
= \frac{-2k}{(3)(8)} u^{3/2}
= [\frac{-k}{12} (4t^2 - 8t + 6)^{3/2}]_0^1
= \frac{-k\sqrt{2}}{6} + \frac{k\sqrt{6}}{2}
= k \left( \sqrt{\frac{3}{2}} - \frac{\sqrt{2}}{6} \right)

El siguiente es el gráfico del hilo conductor y del plano x=1
tp7_ej4
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "blue", line_width=2,
parametric(t,t,2*t-t^2, t,0,1),
color = "light-blue", line_width=1,
parametric_surface(1,u,v, u,-2,2, v,-2,2)
);

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