Tp.9 Ej.7

Sea \vec{F} = k \hat{n} con {k > 0} constante, demuestre que \iint_S \vec{F} \cdot \hat{n} d\sigma = F \ area(S) con F = ||\vec{F}||.

(Flujo de campo con módulo constante, con igual orientación que la superficie en cada punto)

Solución:

\iint_S \vec{F} \cdot \hat{n} d\sigma

= \iint_S k \hat{n} \cdot \hat{n} d\sigma

Puesto que \hat{n} \cdot \hat{n} = ||\hat{n}||^2 \cos(0) = 1 por tratarse de un mismo versor:

= k \iint_S d\sigma

Por ser F = ||\vec{F}|| = k||\hat{n}|| = k

= F \ area(S)

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Tp.8 Ej.15.b

Calcule la masa de los siguientes cuerpos:

b) cuerpo definido por z \geq |y|, x^2+y^2+z^2 \leq 1 si la densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al plano xy

Solución:

La función densidad es \delta(x,y,z) = k|z|, y como z \geq 0 nos queda:
\delta(x,y,z) = kz

Como la esfera esta cortada por dos planos, voy a tomar una variante de coordenadas esféricas (que sería equivalente a rotar x \to y, y \to z, z\to x):

\begin{cases} x = \rho\cos(\beta) \\ y = \rho\cos(\phi)\sin(\beta) \\ z = \rho\sin(\phi)\sin(\beta) \end{cases}

|J| = \rho^2 \sin(\beta)

Transformo la función densidad:
\delta(\phi, \beta, \rho) = k \rho \sin(\phi)\sin(\beta)

Por lo tanto la masa es:
k \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin(\phi) d\phi \int_0^{\pi} \sin^2(\beta) d\beta \int_0^1 \rho^3 d\rho

\frac{k}{4} [-\cos(\phi)]_{\pi/4}^{3\pi/4} [\frac{\beta}{2} - \frac{\sin(2\beta)}{4}]_{0}^{\pi}

\frac{k}{4} [\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}] [\frac{\pi}{2}]

= \frac{k}{8} \sqrt{2} \pi

El siguiente es el gráfico del cuerpo:


draw3d(surface_hide=true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color=blue,
parametric_surface(cos(b), cos(p)*sin(b), sin(p)*sin(b), p,%pi/4,3*%pi/4, b,0,%pi),
color=light-blue,
parametric_surface(u*cos(b), u*sqrt(2)/2*sin(b), u*sqrt(2)/2*sin(b), u,0,1, b,0,%pi),
parametric_surface(u*cos(b), -u*sqrt(2)/2*sin(b), u*sqrt(2)/2*sin(b), u,0,1, b,0,%pi)
);

Tp.8 Ej.10.c

Calcule mediante integrales triples el volumen del cuerpo H, usando el sistema de coordenadas que crea más conveniente.

c) H definido por x^2 + z^2 \leq 2ax, interior a la esfera de radio 2a con centro en el origen de coordenadas.

Solución:

La ecuación de la esfera de radio 2a es:
x^2 + y^2 + z^2 = (2a)^2
Despejando y:
y = \pm \sqrt{(2a)^2 - x^2 - z^2}

De la ecuación x^2 + z^2 = 2ax, completando cuadrados resulta:
x^2 -2ax + z^2 = 0
(x-a)^2 + z^2 = a^2
o sea que es un cilindro de radio a, pero está corrido sobre el eje x de forma tal que su eje de simetría es del tipo r(t) = (a,t,0)

Usando coordenadas cilíndricas:
\begin{cases} x = \rho \cos(\phi) \\ y = y \\ z = \rho\sin(\phi) \end{cases}
|J| = \rho

Transformamos al cilindro
\rho^2 = 2a \rho\cos(\phi)
\rho = 2a \cos(\phi)

y transformamos la esfera
y = \pm \sqrt{4a^2 - \rho^2}

Por lo tanto el volumen vendrá dado por:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\phi \int_0^{2a\cos(\phi)} \rho d\rho \int_{-\sqrt{4a^2-\rho^2}}^{\sqrt{4a^2-\rho^2}}dy

2 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\phi \int_0^{2a\cos(\phi)} \rho \sqrt{4a^2 - \rho^2} d\rho

Queremos evaluar \int_0^{2a\cos(\phi)} \rho \sqrt{4a^2 - \rho^2} d\rho

Sustituyo u = 4a^2 - \rho^2
du = -2\rho d\rho

\frac{-1}{2} \int \sqrt{u} du
= \frac{-1}{2} \frac{2}{3} u^{3/2} + c
= \frac{-1}{3} (4a^2 - \rho^2)^{3/2} + c
La integral definida queda entonces:
\left[\frac{-1}{3}(4a^2 - \rho^2)^{3/2} \right]_0^{2a\cos(\phi)}
= \frac{-1}{3}(4a^2 - 4a^2\cos^2(\phi))^{3/2} + \frac{8}{3}a^3
= \frac{-8a^3}{3}(1 - \cos^2(\phi))^{3/2} + \frac{8}{3}a^3
= \frac{-8a^3}{3}(\sin^2(\phi))^{3/2} + \frac{8}{3}a^3
= \frac{-8a^3}{3}|\sin(\phi)|^3 + \frac{8}{3}a^3

Retomando la integral de volúmen:
2 \int_{-\pi/2}^{0} \frac{8a^3}{3}\sin^3(\phi) d\phi - 2 \int_{0}^{\pi/2} \frac{8a^3}{3}\sin^3(\phi)d\phi + \frac{16}{3}a^3\pi

2 \frac{8a^3}{3} \left[ -\cos(\phi) + \frac{\cos^3(\phi)}{3} \right]_{-\pi/2}^{0} - 2 \frac{8a^3}{3} \left[ -\cos(\phi) + \frac{\cos^3(\phi)}{3} \right]_{0}^{\pi/2} + \frac{16}{3}a^3\pi

= \frac{16a^3}{3}(-1 + \frac{1}{3}) - \frac{16a^3}{3}(0 - (-1 + \frac{1}{3})) + \frac{16}{3}a^3\pi

= \frac{-64}{9}a^3 + \frac{16}{3}a^3\pi

= a^3 \left( \frac{16}{3}\pi - \frac{64}{9} \right) \approx (9.644)a^3

El siguiente es el gráfico del cuerpo para el valor de a=1


reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide=true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color=blue,
reparametrize(r*cos(p), sqrt(4-r^2), r*sin(p), p, -%pi/2, %pi/2, r, 0, 2*cos(p)),
reparametrize(r*cos(p), -sqrt(4-r^2), r*sin(p), p, -%pi/2, %pi/2, r, 0, 2*cos(p)),
color=light-blue,
reparametrize((2*cos(p))*cos(p), y, (2*cos(p))*sin(p), p, -%pi/2, %pi/2, y, -sqrt(4-4*cos(p)^2), sqrt(4-4*cos(p)^2))
);

Tp.8 Ej.1.e

Calcule el área de las siguientes regiones planas mediante integrales dobles; se recomienda no aplicar propiedades de simetría, plantee los límites para toda la región.

e) D: conjunto de positividad de f(x,y) = (y - 2|x|)\sqrt{20-x^2-y^2}

Solución:

Primero calculemos el dominio del campo escalar:

20 - x^2 - y^2 \geq 0
x^2 + y^2 \leq 20

Por lo tanto el dominio consiste en una circunferencia de radio 2\sqrt{5}

Para que sea positiva la función debe cumplirse:

20-x^2-y^2 > 0
x^2 + y^2 < 20

y

y > 2|x|

El gráfico de la región es:

tp8_ej1e
draw2d(
xlabel = "x", ylabel = "y",
parametric(2*sqrt(5)*cos(t), 2*sqrt(5)*sin(t), t, 0, 2*%pi),
parametric(t, -2*t, t, -2,0),
parametric(t, 2*t, t, 0,2)
);

Como es la sección de un círculo vamos a usar coordenadas polares:

T : \begin{cases} x=\rho\cos(\phi) \\ y=\rho\sin(\phi) \end{cases}

Recordemos también que el jacobiano correspondiente a las coordenadas polares es:
|J| = \rho

El ángulo que hace la recta y = 2x con el eje x es \alpha = \arctan(2) (y por consiguiente, el ángulo que hace la recta y = -2x con el eje x es \pi - \alpha)

Por lo tanto el área pedida es:

\int_{\alpha}^{\pi-\alpha} d\phi \int_0^{2\sqrt{5}} \rho d\rho

(\pi-\alpha - \alpha) (10)
= 10(\pi - 2\alpha) \approx 9.27295218...

Tp.9 Ej.10.c

Calcule el flujo de f a través de S, indicando gráficamente la orientación del versor normal que ha elegido, o bien que se le solicite en cada caso.

c) f(x,y,z) = (xy, zx, y-xz^2) a través del trozo de superficie cilíndrica de ecuación y = x^3 con 0 \leq z \leq x+y, x+y \leq 10.

Solución:

Primero parametricemos la superficie:

S(x,z) = (x,x^3,z)

Su vector normal es:

N = S'_x \wedge S'_z = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 3x^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right|
= (3x^2, -1, 0)

De la primer restricción:
0 \leq z \leq x + x^3

De la segunda restricción:
x + x^3 \leq 10

por tanteo, podemos ver que se cumple que x \leq 2

Además, de la primer restricción
x + x^3 \geq 0

De donde se desprende que x \geq 0

Por lo tanto el flujo pedido es:

\iint_S f(S(x,z)) \cdot N dxdz
\int_0^2 dx \int_0^{x+x^3} (x^4, zx, x^3-xz^2) \cdot (3x^2, -1, 0) dz
\int_0^2 dx \int_0^{x+x^3} 3x^6 - zx dz
\int_0^2 dx \left[ 3x^6z - \frac{z^2}{2}x \right]_0^{x+x^3}

\int_0^2 3x^6(x+x^3) - \frac{(x+x^3)^2}{2}x dx

\int_0^2 3x^7 + 3x^9 - \frac{1}{2}x^3 - x^5 - \frac{1}{2}x^7 dx

\int_0^2 3x^9 + \frac{5}{2}x^7 - x^5 - \frac{1}{2}x^3 dx

\left[ \frac{3}{10}x^{10} + \frac{5}{16}x^8 - \frac{x^6}{6} - \frac{1}{8}x^4 \right]_0^2

= \frac{5618}{15}

En el siguiente gráfico se puede ver la superficie en celeste y la proyección en el plano xz en rojo. El vector normal lo tomamos en la dirección que va desde la superficie hacia el plano xz.

tp9_ej10c
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
reparametrize(x, x^3, z, x,0,2,z,0,x+x^3),
color = "red",
reparametrize(x, 0, z, x,0,2,z,0,x+x^3)
);

Tp.9 Ej.5.a

Calcule el área de las siguientes superficies:

a) Trozo de cilindro z = 2x^2 con y \leq x, z \leq 6, 1º octante.

Solución:

Primero parametricemos la superficie:

S(x,y) = (x,y,2x^2)

Como z \leq 6 debe cumplirse que:
2x^2 \leq 6
x^2 \leq 3
0 \leq x \leq \sqrt{3} (x es positiva por estar en el 1º octante)

Busquemos el vector normal a la superficie:

N = S'_x \wedge S'_y = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 0 & 4x \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right|
= (-4x, 0, 1)

Por lo tanto su norma es:

|N| = \sqrt{16x^2 + 1}

Finalmente, la integral de superficie nos queda:

\int_0^{\sqrt{3}} \sqrt{16x^2+1} dx \int_0^x dy

\int_0^{\sqrt{3}} x \sqrt{16x^2+1} dx

Si u = 16x^2+1
du = 32x dx

\frac{1}{32} \int \sqrt{u} du = \frac{1}{32} \frac{2}{3} (16x^2+1)^{3/2} + c

Por lo tanto, el área de la superficie es

\left[ \frac{1}{48} (16x^2+1)^{3/2} \right]_0^{\sqrt{3}}

= \frac{343}{48} - \frac{1}{48} = \frac{57}{8}

En el siguiente gráfico se puede observar la superficie en color celeste, y la proyección sobre el plano xy en rojo:

tp9_ej5a
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
reparametrize(x, y, 2*x^2, x,0,sqrt(3),y,0,x),
color = "red",
reparametrize(x, y, 0, x,0,sqrt(3),y,0,x)
);