Archivos para noviembre, 2009

Tp.9 Ej.7

Viernes, noviembre 27th, 2009

Sea \vec{F} = k \hat{n} con {k > 0} constante, demuestre que \iint_S \vec{F} \cdot \hat{n} d\sigma = F \ area(S) con F = ||\vec{F}||.

(Flujo de campo con módulo constante, con igual orientación que la superficie en cada punto)

Solución:

\iint_S \vec{F} \cdot \hat{n} d\sigma

= \iint_S k \hat{n} \cdot \hat{n} d\sigma

Puesto que \hat{n} \cdot \hat{n} = ||\hat{n}||^2 \cos(0) = 1 por tratarse de un mismo versor:

= k \iint_S d\sigma

Por ser F = ||\vec{F}|| = k||\hat{n}|| = k

= F \ area(S)

Tp.8 Ej.15.b

Viernes, noviembre 27th, 2009

Calcule la masa de los siguientes cuerpos:

b) cuerpo definido por z \geq |y|, x^2+y^2+z^2 \leq 1 si la densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al plano xy

Solución:

La función densidad es \delta(x,y,z) = k|z|, y como z \geq 0 nos queda:
\delta(x,y,z) = kz

Como la esfera esta cortada por dos planos, voy a tomar una variante de coordenadas esféricas (que sería equivalente a rotar x \to y, y \to z, z\to x):

\begin{cases} x = \rho\cos(\beta) \\ y = \rho\cos(\phi)\sin(\beta) \\ z = \rho\sin(\phi)\sin(\beta) \end{cases}

|J| = \rho^2 \sin(\beta)

Transformo la función densidad:
\delta(\phi, \beta, \rho) = k \rho \sin(\phi)\sin(\beta)

Por lo tanto la masa es:
k \int_{\pi/4}^{3\pi/4} \sin(\phi) d\phi \int_0^{\pi} \sin^2(\beta) d\beta \int_0^1 \rho^3 d\rho

\frac{k}{4} [-\cos(\phi)]_{\pi/4}^{3\pi/4} [\frac{\beta}{2} - \frac{\sin(2\beta)}{4}]_{0}^{\pi}

\frac{k}{4} [\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}] [\frac{\pi}{2}]

= \frac{k}{8} \sqrt{2} \pi

El siguiente es el gráfico del cuerpo:


draw3d(surface_hide=true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color=blue,
parametric_surface(cos(b), cos(p)*sin(b), sin(p)*sin(b), p,%pi/4,3*%pi/4, b,0,%pi),
color=light-blue,
parametric_surface(u*cos(b), u*sqrt(2)/2*sin(b), u*sqrt(2)/2*sin(b), u,0,1, b,0,%pi),
parametric_surface(u*cos(b), -u*sqrt(2)/2*sin(b), u*sqrt(2)/2*sin(b), u,0,1, b,0,%pi)
);

Tp.8 Ej.10.c

Viernes, noviembre 27th, 2009

Calcule mediante integrales triples el volumen del cuerpo H, usando el sistema de coordenadas que crea más conveniente.

c) H definido por x^2 + z^2 \leq 2ax, interior a la esfera de radio 2a con centro en el origen de coordenadas.

Solución:

La ecuación de la esfera de radio 2a es:
x^2 + y^2 + z^2 = (2a)^2
Despejando y:
y = \pm \sqrt{(2a)^2 - x^2 - z^2}

De la ecuación x^2 + z^2 = 2ax, completando cuadrados resulta:
x^2 -2ax + z^2 = 0
(x-a)^2 + z^2 = a^2
o sea que es un cilindro de radio a, pero está corrido sobre el eje x de forma tal que su eje de simetría es del tipo r(t) = (a,t,0)

Usando coordenadas cilíndricas:
\begin{cases} x = \rho \cos(\phi) \\ y = y \\ z = \rho\sin(\phi) \end{cases}
|J| = \rho

Transformamos al cilindro
\rho^2 = 2a \rho\cos(\phi)
\rho = 2a \cos(\phi)

y transformamos la esfera
y = \pm \sqrt{4a^2 - \rho^2}

Por lo tanto el volumen vendrá dado por:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\phi \int_0^{2a\cos(\phi)} \rho d\rho \int_{-\sqrt{4a^2-\rho^2}}^{\sqrt{4a^2-\rho^2}}dy

2 \int_{-\pi/2}^{\pi/2} d\phi \int_0^{2a\cos(\phi)} \rho \sqrt{4a^2 - \rho^2} d\rho

Queremos evaluar \int_0^{2a\cos(\phi)} \rho \sqrt{4a^2 - \rho^2} d\rho

Sustituyo u = 4a^2 - \rho^2
du = -2\rho d\rho

\frac{-1}{2} \int \sqrt{u} du
= \frac{-1}{2} \frac{2}{3} u^{3/2} + c
= \frac{-1}{3} (4a^2 - \rho^2)^{3/2} + c
La integral definida queda entonces:
\left[\frac{-1}{3}(4a^2 - \rho^2)^{3/2} \right]_0^{2a\cos(\phi)}
= \frac{-1}{3}(4a^2 - 4a^2\cos^2(\phi))^{3/2} + \frac{8}{3}a^3
= \frac{-8a^3}{3}(1 - \cos^2(\phi))^{3/2} + \frac{8}{3}a^3
= \frac{-8a^3}{3}(\sin^2(\phi))^{3/2} + \frac{8}{3}a^3
= \frac{-8a^3}{3}|\sin(\phi)|^3 + \frac{8}{3}a^3

Retomando la integral de volúmen:
2 \int_{-\pi/2}^{0} \frac{8a^3}{3}\sin^3(\phi) d\phi - 2 \int_{0}^{\pi/2} \frac{8a^3}{3}\sin^3(\phi)d\phi + \frac{16}{3}a^3\pi

2 \frac{8a^3}{3} \left[ -\cos(\phi) + \frac{\cos^3(\phi)}{3} \right]_{-\pi/2}^{0} - 2 \frac{8a^3}{3} \left[ -\cos(\phi) + \frac{\cos^3(\phi)}{3} \right]_{0}^{\pi/2} + \frac{16}{3}a^3\pi

= \frac{16a^3}{3}(-1 + \frac{1}{3}) - \frac{16a^3}{3}(0 - (-1 + \frac{1}{3})) + \frac{16}{3}a^3\pi

= \frac{-64}{9}a^3 + \frac{16}{3}a^3\pi

= a^3 \left( \frac{16}{3}\pi - \frac{64}{9} \right) \approx (9.644)a^3

El siguiente es el gráfico del cuerpo para el valor de a=1


reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide=true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color=blue,
reparametrize(r*cos(p), sqrt(4-r^2), r*sin(p), p, -%pi/2, %pi/2, r, 0, 2*cos(p)),
reparametrize(r*cos(p), -sqrt(4-r^2), r*sin(p), p, -%pi/2, %pi/2, r, 0, 2*cos(p)),
color=light-blue,
reparametrize((2*cos(p))*cos(p), y, (2*cos(p))*sin(p), p, -%pi/2, %pi/2, y, -sqrt(4-4*cos(p)^2), sqrt(4-4*cos(p)^2))
);

Tp.7 Ej.6

Viernes, noviembre 27th, 2009

Demuestre que si \vec{h} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n (n > 1) es derivable y ||\vec{h}|| es constante, \vec{h} \perp \vec{h}'

Solución:

Si \vec{h}(t) = (h_1(t), h_2(t), \ldots, h_n(t)), como

||\vec{h}|| = k

\sqrt{h_1^2 + h_2^2 + \ldots + h_n^2} = k

h_1^2 + h_2^2 + \ldots + h_n^2 = k^2

Dado el campo escalar F:\mathbb{R}^n \to\mathbb{R} definido por

F(x_1,x_2, \ldots, x_n) = x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2

se verifica que:

F(\vec{h}(t)) = k^2

Derivando con la regla de la cadena:

\nabla F(\vec{h}(t)) \cdot \vec{h}'(t) = 0

lo cual implica que \nabla F(\vec{h}(t)) \perp \vec{h}'

Pero \nabla F(\vec{h}(t)) \parallel \vec{h} pues

\nabla F = (2x_1, 2x_2, \ldots, 2x_n)

\nabla F(\vec{h}(t))= 2(h_1(t),h_2(t), \ldots, h_n(t)) = 2 \vec{h}(t)

Por lo tanto \vec{h} \perp \vec{h}' como queríamos mostar.

Tp.8 Ej.1.e

Domingo, noviembre 15th, 2009

Calcule el área de las siguientes regiones planas mediante integrales dobles; se recomienda no aplicar propiedades de simetría, plantee los límites para toda la región.

e) D: conjunto de positividad de f(x,y) = (y - 2|x|)\sqrt{20-x^2-y^2}

Solución:

Primero calculemos el dominio del campo escalar:

20 - x^2 - y^2 \geq 0
x^2 + y^2 \leq 20

Por lo tanto el dominio consiste en una circunferencia de radio 2\sqrt{5}

Para que sea positiva la función debe cumplirse:

20-x^2-y^2 > 0
x^2 + y^2 < 20

y

y > 2|x|

El gráfico de la región es:

tp8_ej1e
draw2d(
xlabel = "x", ylabel = "y",
parametric(2*sqrt(5)*cos(t), 2*sqrt(5)*sin(t), t, 0, 2*%pi),
parametric(t, -2*t, t, -2,0),
parametric(t, 2*t, t, 0,2)
);

Como es la sección de un círculo vamos a usar coordenadas polares:

T : \begin{cases} x=\rho\cos(\phi) \\ y=\rho\sin(\phi) \end{cases}

Recordemos también que el jacobiano correspondiente a las coordenadas polares es:
|J| = \rho

El ángulo que hace la recta y = 2x con el eje x es \alpha = \arctan(2) (y por consiguiente, el ángulo que hace la recta y = -2x con el eje x es \pi - \alpha)

Por lo tanto el área pedida es:

\int_{\alpha}^{\pi-\alpha} d\phi \int_0^{2\sqrt{5}} \rho d\rho

(\pi-\alpha - \alpha) (10)
= 10(\pi - 2\alpha) \approx 9.27295218...

Tp.9 Ej.10.c

Sábado, noviembre 14th, 2009

Calcule el flujo de f a través de S, indicando gráficamente la orientación del versor normal que ha elegido, o bien que se le solicite en cada caso.

c) f(x,y,z) = (xy, zx, y-xz^2) a través del trozo de superficie cilíndrica de ecuación y = x^3 con 0 \leq z \leq x+y, x+y \leq 10.

Solución:

Primero parametricemos la superficie:

S(x,z) = (x,x^3,z)

Su vector normal es:

N = S'_x \wedge S'_z = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 3x^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right|
= (3x^2, -1, 0)

De la primer restricción:
0 \leq z \leq x + x^3

De la segunda restricción:
x + x^3 \leq 10

por tanteo, podemos ver que se cumple que x \leq 2

Además, de la primer restricción
x + x^3 \geq 0

De donde se desprende que x \geq 0

Por lo tanto el flujo pedido es:

\iint_S f(S(x,z)) \cdot N dxdz
\int_0^2 dx \int_0^{x+x^3} (x^4, zx, x^3-xz^2) \cdot (3x^2, -1, 0) dz
\int_0^2 dx \int_0^{x+x^3} 3x^6 - zx dz
\int_0^2 dx \left[ 3x^6z - \frac{z^2}{2}x \right]_0^{x+x^3}

\int_0^2 3x^6(x+x^3) - \frac{(x+x^3)^2}{2}x dx

\int_0^2 3x^7 + 3x^9 - \frac{1}{2}x^3 - x^5 - \frac{1}{2}x^7 dx

\int_0^2 3x^9 + \frac{5}{2}x^7 - x^5 - \frac{1}{2}x^3 dx

\left[ \frac{3}{10}x^{10} + \frac{5}{16}x^8 - \frac{x^6}{6} - \frac{1}{8}x^4 \right]_0^2

= \frac{5618}{15}

En el siguiente gráfico se puede ver la superficie en celeste y la proyección en el plano xz en rojo. El vector normal lo tomamos en la dirección que va desde la superficie hacia el plano xz.

tp9_ej10c
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
reparametrize(x, x^3, z, x,0,2,z,0,x+x^3),
color = "red",
reparametrize(x, 0, z, x,0,2,z,0,x+x^3)
);

Tp.9 Ej.5.a

Sábado, noviembre 14th, 2009

Calcule el área de las siguientes superficies:

a) Trozo de cilindro z = 2x^2 con y \leq x, z \leq 6, 1º octante.

Solución:

Primero parametricemos la superficie:

S(x,y) = (x,y,2x^2)

Como z \leq 6 debe cumplirse que:
2x^2 \leq 6
x^2 \leq 3
0 \leq x \leq \sqrt{3} (x es positiva por estar en el 1º octante)

Busquemos el vector normal a la superficie:

N = S'_x \wedge S'_y = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 0 & 4x \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} \right|
= (-4x, 0, 1)

Por lo tanto su norma es:

|N| = \sqrt{16x^2 + 1}

Finalmente, la integral de superficie nos queda:

\int_0^{\sqrt{3}} \sqrt{16x^2+1} dx \int_0^x dy

\int_0^{\sqrt{3}} x \sqrt{16x^2+1} dx

Si u = 16x^2+1
du = 32x dx

\frac{1}{32} \int \sqrt{u} du = \frac{1}{32} \frac{2}{3} (16x^2+1)^{3/2} + c

Por lo tanto, el área de la superficie es

\left[ \frac{1}{48} (16x^2+1)^{3/2} \right]_0^{\sqrt{3}}

= \frac{343}{48} - \frac{1}{48} = \frac{57}{8}

En el siguiente gráfico se puede observar la superficie en color celeste, y la proyección sobre el plano xy en rojo:

tp9_ej5a
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
reparametrize(x, y, 2*x^2, x,0,sqrt(3),y,0,x),
color = "red",
reparametrize(x, y, 0, x,0,sqrt(3),y,0,x)
);

Tp.8 Ej.15.a

Sábado, noviembre 14th, 2009

Calcule la masa de los siguientes cuerpos:

a) cuerpo limitado por z = 4-x^2-y^2, z = 8 - 2x^2 - 2y^2 si la densidad en cada punto es proporcional a la distancia desde el punto al eje z.

Solución:
Primero calculemos la función de densidad:
\delta (x,y,z) = k \sqrt{x^2+y^2}

Ahora grafiquemos la región de integración, se trata de la región encerrada entre dos paraboloides de revolución (grafico el “techo” abierto para que pueda visualizarse el “piso”):

tp8_ej15a
draw3d(surface_hide=true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color=blue,
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 4-u^2, u,0,2, v,0,2*%pi),
color=light-blue,
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 8-2*u^2, u,0,2, v,0,2*%pi*0.90)
);

Veamos donde se intersectan estas superficies, para eso igualo las ecuaciones y nos queda:

4 - x^2 - y^2 = 8 - 2x^2 - 2y^2
x^2 + y^2 = 4
reemplazando en la primer ecuación:
z = 4 - (4) = 0

o sea que se intersectan en una circunferencia de radio 2, contenida en el plano z=0

Como la región es simétrica respecto del eje z, vamos a plantear la integral en coordenadas cilíndricas (recordemos que el jacobiano de cilíndricas es \rho), para eso tenemos que transformar la función densidad:

\delta(\phi, \rho, z) = k\rho

Ahora planteamos la integral:

k \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^2 \rho^2 d\rho \int_{4-\rho^2}^{8 - 2\rho^2} dz

2k\pi \int_0^2 \rho^2 (8 - 2\rho^2 - 4 + \rho^2 ) d\rho

2k\pi \int_0^2 \rho^2 (4 - \rho^2 ) d\rho

2k\pi \int_0^2 4\rho^2 - \rho^4 d\rho

2k\pi \left[ \frac{4}{3}\rho^3 - \frac{\rho^5}{5} \right]_0^2

= \frac{128}{15} k \pi

Tp.7 Ej.16

Sábado, noviembre 14th, 2009

Sea f: \mathbb{R}^2 - \{ 0 \} \to \mathbb{R}^2 / f(x,y) = \left( \frac{y}{x^2+y^2}, \frac{-x}{x^2+y^2} \right), demuestre que f tiene matriz jacobiana contínua y simétrica en su dominio, pero no admite función potencial en él.

Solución:

Primero busquemos la matriz jacobiana:

Df = \begin{pmatrix} \frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2} & \frac{(x^2+y^2) - 2y^2}{(x^2+y^2)^2} \\ \frac{-(x^2+y^2) + 2x^2}{(x^2+y^2)^2} & \frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2} \end{pmatrix}

Los componentes de la matriz son contínuos en su dominio Dm(Df) = \mathbb{R}^2 - \{ 0 \} por no haber indeterminación y tratarse de cociente de polinomios.

Veamos si es simétrica, debemos mostrar que Df_{12} = Df_{21}
Df_{12} = \frac{(x^2+y^2) - 2y^2}{(x^2+y^2)^2}
= \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}
Por otro lado:
Df_{21} = \frac{-(x^2+y^2) + 2x^2}{(x^2+y^2)^2}
= \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}
= Df_{21}

por lo tanto la matriz es simétrica, y contínua, o sea que f cumple con las condiciones necesarias para la existencia de función potencial (jacobiano contínuo y simétrico).
Pero el dominio no es simplemente conexo ya que es Dm(f) = \mathbb{R}^2 - \{ 0 \} (recordar que en \mathbb{R}^2 simplemente conexo es equivalente a decir que no hay “agujeros” en el dominio, y en este caso está faltando el origen). Por lo tanto no podemos todavía garantizar que exista función potencial en todo el dominio.
Veamos que pasa si calculamos la circulación sobre una circunferencia unitaria centrada en el origen:

C(t) = (\cos(t), \sin(t)) 0 \leq t \leq 2\pi
C'(t) = (-\sin(t), \cos(t))

\int_0^{2\pi} (\sin(t), -\cos(t)) \cdot (-\sin(t), \cos(t)) dt
\int_0^{2\pi} -\sin^2(t) -\cos^2(t) dt
-\int_0^{2\pi} dt = -2\pi \neq 0

por lo tanto, como la circulación sobre una trayectoria cerrada nos da distinto de cero, podemos afirmar que el campo es no conservativo, es decir, que no admite función potencial en su dominio.

Tp.9 Ej.10.d

Sábado, noviembre 14th, 2009

Calcule el flujo de f a través de S, indicando gráficamente la orientación del versor normal que ha elegido, o bien que se le solicite en cada caso.

d) f(x,y,z) = (y,x,y) \wedge (x,z,y) a través del trozo de plano tangente a la superficie de ecuación z=x^2 - yx^3 en el punto (1,2,-1) con (x,y) \in [0,2] \times [1,3].

Solución:

Primero desarrollamos el campo vectorial:

f(x,y,z) = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ y & x & y \\ x & z & y \end{matrix} \right| = (xy-yz, yx - y^2, yz-x^2)

Ahora buscamos el plano tangente a la superficie.
Defino:
G(x,y,z) = x^2 - yx^3 - z

\nabla G = (2x - 3yx^2, -x^3, -1)

Por lo tanto un vector normal al plano tangente es:
\nabla G(1,2,-1) = (-4, -1, -1)

El plano tangente es:
(x-1,y-2,z+1)(4,1,1) = 0
4x-4 + y-2 + z+1 = 0
4x + y + z = 5
z = 5-4x-y

Parametrizamos con respecto a xy:
S(x,y) = (x,y, 5 - 4x - y)
0 \leq x \leq 2
1 \leq y \leq 3

Buscamos el normal a partir de la parametrización:
S'_x = (1,0,-4)
S'_y = (0,1,-1)

N = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & -1 \end{matrix} \right| = (4, 1, 1)

También podríamos haber obtenido el vector normal con la misma orientación de la siguiente forma:

N = -\frac{\nabla G}{|G'_z|} = \frac{-(-4,-1,-1)}{|-1|} = (4,1,1)

Ahora componemos el campo vectorial con la superficie:
f(S(x,y)) = (xy-y(5-4x-y), yx - y^2, y(5-4x-y)-x^2)
= (xy-5y+4xy+y^2, yx - y^2, 5y - 4xy - y^2 -x^2)
= (-5y+5xy+y^2, yx - y^2, 5y - 4xy - y^2 -x^2)

Entonces el flujo pedido es:

\int_0^2 dx \int_1^3 (-5y+5xy+y^2, yx - y^2, 5y - 4xy - y^2 -x^2) (4,1,1) dy

\int_0^2 dx \int_1^3 -20y+20xy+4y^2 + yx - y^2 + 5y - 4xy - y^2 -x^2 dy

\int_0^2 dx \int_1^3 -15y + 17xy + 2y^2 -x^2 dy

\int_0^2 dx \left[ \frac{-15}{2}y^2 + \frac{17}{2}xy^2 + \frac{2}{3}y^3 - x^2y \right]_1^3

\int_0^2 dx \left( \frac{-135}{2} + \frac{153}{2}x + \frac{54}{3} - 3x^2 - (\frac{-15}{2} + \frac{17}{2}x + \frac{2}{3} - x^2) \right)

\int_0^2 dx \left( \frac{-99}{2} + \frac{153}{2}x - 3x^2 + \frac{41}{6} - \frac{17}{2}x + x^2 \right)

\int_0^2 \frac{-128}{3} + \frac{153}{2}x - 3x^2 - \frac{17}{2}x + x^2 dx

\int_0^2 \frac{-128}{3} + 68x - 2x^2 dx

\left[ \frac{-128}{3}x + 34x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right]_0^2

\left( \frac{-256}{3} + 136 - \frac{16}{3} \right)

= \frac{136}{3}

El siguiente es el gráfico de la superficie y del plano tangente. El vector normal lo tomamos con todos los componentes positivos, por lo tanto es hacia “arriba”, o sea N \cdot k > 0.

tp9_ej10d
draw3d(
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
surface_hide = true,
color = "light-blue",
parametric_surface(x,y,x^2 - y*x^3, x,0,2,y,1,3),
color = "blue",
parametric_surface(x,y,5-4*x-y, x,0,2,y,1,3),
color = "red", line_width = 4,
parametric(1,2,-1,t,0,1)
);