Tp.8 Ej.2.f

Calcule las siguientes integrales en ambos órdenes de integración y verifique que los resultados coinciden.

f) \iint_D e^{-x}dxdy, D definido por e^x \leq y \leq e^{2x} \wedge 0 \leq x \leq \ln(2)

Primero grafiquemos la región:
tp8_ej2f
wxplot2d([(%e)^x, (%e)^(2*x)], [x,0,log(2)])$

Es mas fácil si proyectamos sobre el eje x:

\int_0^{\ln(2)} e^{-x} dx \int_{e^x}^{e^{2x}}dy
\int_0^{\ln(2)} e^{-x}(e^{2x} - e^x)
\int_0^{\ln(2)} e^x - 1
[e^x - x]_0^{\ln(2)}
= 2 - \ln(2) - 1
= 1 - \ln(2)

Ahora hay que hacerlo en el otro orden de integración, proyectando sobre el eje y, lo que no hay que olvidarse es que ahora lo que vendría a ser el “techo” está partido, busquemos la intersección donde se divide:

Intersectamos:
y = e^x
x = \ln(2)
Entonces:
y = e^{\ln(2)} = 2

Para calcular el nuevo “piso” y el nuevo “techo” debemos invertir la función:
y=e^x \to x = \ln(y)
y=e^{2x} \to x = \frac{\ln(y)}{2}

Veamos los nuevos límites de integración:
x=0 \to y=e^0=1
x=\ln(2) \to y=e^{\ln(2)} = 2
x=\ln(2) \to y=e^{2\ln(2)}=e^{\ln(2^2)} = 4

Por lo tanto la integral en el otro orden de integración nos queda:

\int_1^2 dy \int_{\ln(y)}^{\ln(y)/2} e^{-x} dx + \int_2^4 dy \int_{\ln(y)}^{\ln(2)} e^{-x} dx

\int_1^2 dy [-e^{-x}]_{\ln(y)/2}^{\ln(y)} + \int_2^4 dy [-e^{-x}]_{\ln(y)/2}^{\ln(2)}

\int_1^2 -\frac{1}{y} + \frac{1}{\sqrt{y}}dy + \int_2^4 -\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{y}} dy

= [-\ln(y) + 2\sqrt{y}]_1^2 + [-\frac{y}{2} + 2\sqrt{y}]_2^4
= [-\ln(2) + 2\sqrt{2} - (\ln(1) + 2)] + [-2 + 4 - (-1 + 2\sqrt{2})]
= -\ln(2) + 2\sqrt{2} - 2 - 2 + 4 + 1 - 2\sqrt{2}
= 1 - \ln(2)

Anuncios

Responder

Por favor, inicia sesión con uno de estos métodos para publicar tu comentario:

Gravatar
Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. ( Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. ( Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. ( Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. ( Cerrar sesión / Cambiar )

Cancelar

Conectando a %s