Tp.6 Ej.1.a

Martes, octubre 13th, 2009

Dadas f y g, analice en cada caso si quedan definidas f \circ g y g \circ f. Además, para cada función generada mediante la composición, determine su dominio natural y obtenga su matriz jacobiana en algún punto interior al mismo.

a) f(x,y) = (xy, x-y)
g(u,v) = (u^2, v-u)

Solución:

Analicemos f \circ g, es decir primero aplicamos g y luego f:
En forma de diagrama sería:
uv \to g \to xy \to f \to wz
Es decir:
\mathbb{R}^2 \to g \to \mathbb{R}^2 \to f \to \mathbb{R}^2

por lo tanto queda definida la composición.
Por otro lado Dm(f) = \mathbb{R}^2 y Dm(g) = \mathbb{R}^2, así que:
Dm(f \circ g) = \mathbb{R}^2

D(g) = \begin{pmatrix} 2u & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}
D(g)(1,1) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

g(1,1) = (1,0)
D(f) = \begin{pmatrix} y & x \\ 1 & -1 \end{pmatrix}
D(f)(1,0) =  \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

D(f \circ g)(1,1) = D(f)(1,0) \circ D(g)(1,1)
= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}

Veamos ahora g \circ f:
xy \to f \to uv \to g \to wz
Es decir:
\mathbb{R}^2 \to f \to \mathbb{R}^2 \to g \to \mathbb{R}^2
que también queda definida.

Como Dm(f) = Dm(g) = \mathbb{R}^2, entonces:
Dm(g \circ f) = \mathbb{R}^2

D(f)(1,1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

f(1,1) = (1,0)

D(g)(1,0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}

D(g \circ f)(1,1) = D(g)(1,0) \circ D(f)(1,1)

= \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}

= \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}

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