Tp.5 Ej.1.b

Exprese Df(X) y halle el conjunto W tal que Df sea continua en W

b) f(x,y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}

Solución:

Lo primero que nos piden es que calculemos su matriz jacobiana. Como en este caso se trata de un campo escalar, su matriz jacobiana es equivalente a su gradiente, es decir al vector con las derivadas parciales como componentes.

Df = \left(\frac{y(x^2+y^2) - xy(2x)}{(x^2+y^2)^2}, \frac{x(x^2+y^2) - xy(2y)}{(x^2+y^2)^2}\right)
= \left(\frac{yx^2+y^3 - 2x^2y}{(x^2+y^2)^2}, \frac{x^3+xy^2 - 2y^2x}{(x^2+y^2)^2}\right)
= \left(\frac{y^3 - x^2y}{(x^2+y^2)^2}, \frac{x^3-xy^2}{(x^2+y^2)^2}\right)

Por lo tanto el dominio es Dm(f) = Dm(Df) = \mathbb{R}^2 - \{0\}
El conjunto W = Dm(f) por ser la función contínua en todos los puntos de \mathbb{R}^2 menos en el origen donde no está definida. (Es fácil ver que es contínua porque se cumple que existe f(x_0, y_0) y es igual al límita cuando (x,y) \to (x_0,y_0) pues no hay indeterminación.

Esto significa que f \in C^1 en W, y por lo tanto también es diferenciable (existe plano tangente) en cualquier punto de W.

En la siguiente imagen puede observarse que la función parece ser no contínua en el origen, pero si diferenciable en todos los demás puntos.
tp5_ej1b
draw3d(
surface_hide = true,
xu_grid=60, yv_grid=60,
color=blue,
parametric_surface(x,y,x*y/(x^2+y^2), x,-2,2, y,-2,2)
);

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5 respuestas a Tp.5 Ej.1.b

  1. sar dijo:

    hola damian, me podias ayudar como hacer el ejer 9

    • sergio dijo:

      Hola Sar, si el ejercicio es

      sea S la superficie

      \bar{X}g(u,v)=(u-v^2,\dfrac{v^2}{u},\dfrac{u}{v}) A=(-2,1,1)

      tenes que averiguar los valores de u y v, para eso simplemente

      g(u,v)=A

      recordando que la superfice parametrizada es de la forma

      x=u-v^2\\ y=\dfrac{v^2}{u}\\z=\dfrac{u}{v}

      resolviendo el sistema u=v=2 para el plano tangente

      la normal esta definida por

      \vec{n}=g'_u\times{g'_v} \quad \times{}= producto vectorial

      y la recta normal r: A+\lambda \vec{n}

  2. sar dijo:

    gracias por tu ayuda pero mi pregunta era por el ejer 9. el que dice . Demuestre que un entorno del origen exp(x/(y+1))+ln(y+1)=x+y+1

    • sergio dijo:

      Ah bueno jeje perdon, se ve que en la guia que tengo corrieron el ejercicio, es una aproximación de taylor de primer orden en el (0,0), podes pensarla de la siguiente manera, sea

      f:R^2\longrightarrow{R}/f(x,y)=exp\left(\dfrac{x}{y+1}\right)+ln(x+y)

      1) calcula el límite

      \displaystyle\lim_{\bar{x} \to{\bar{0}}}{f(x,y)}=1

      2) calcula las parciales usando la definición para

      f'_x , f'_y , para f'_x

      f'_x(a_1,a_2)=\displaystyle\lim_{h \to{0}}{\dfrac{(a_1+h,a_2)-f(a_1,a_2)}{h}}=1

      para y podes hacerlo de manera análoga

      3) finalmente aplica la definicion

      z=f(x,y)=f(A)+\nabla f(A)(x-A)

      saludos

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