Tp.5 Cuestionario.e

Si f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} / f(x,y) = x^{1/3}\sqrt{x^2+y^2} demuestre que f es diferenciable en (0,0) pero f'_x no es contínua en (0,0).

Solución:

Básicamente lo que nos dice el enunciado del ejercicio es que mostremos que a pesar de que f \notin C^1 en el origen, de todas formas es diferenciable en dicho punto.

Veamos cual es el dominio del campo escalar: debe cumplirse que x^2+y^2 \geq 0, lo cual se cumple siempre, por lo tanto Dm(f) = \mathbb{R}^2

Calculamos f'_x:

f'_x = \frac{1}{3}x^{-2/3}\sqrt{x^2+y^2} + x^{1/3}\frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2}}

Como no queda definida en el (0,0), debemos analizarlo por definición de derivada parcial en dicho punto:

f'_x(0,0) = \frac{f(h,0) - f(0,0)}{h}
= \frac{h^{1/3}\sqrt{h^2}}{h}
= h^{-1}h^{1/3}\sqrt{h^2}
= h^{-2/3}|h|
= \frac{|h|}{h^{2/3}}

Si h>0
= hh^{-2/3} = h^{1/3} = 0
Si h<0
= -hh^{-2/3} = -h^{1/3} = 0

Por lo tanto f'_x(0,0) = 0

Veamos por definición si existe f'_x sobre el eje y (cuando x=0)
f'_x(0,y) = \frac{f(h,y) - f(0,y)}{h}
= \frac{h^{1/3}\sqrt{h^2+y^2}}{h}
= h^{-1}h^{1/3}\sqrt{h^2+y^2}
= h^{-2/3}\sqrt{h^2+y^2}
= \frac{\sqrt{h^2+y^2}}{h^{2/3}}

Por lo tanto no queda definida f'_x sobre el eje y (salvo en el origen).
Por eso f'_x no es contínua ya que al aproximarme por el eje y no queda definido el límite.

Calculemos f'_y para tener el gradiente completo:

\lim_{h \to 0} \frac{f(0,h) - f(0,0)}{h}
\lim_{h \to 0} \frac{0^{1/3}\sqrt{h^2}}{h} = 0

Veamos si la función es diferenciable en el origen:

\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{f(h,k) - f(0,0) - \nabla f(0,0) \cdot (h,k)}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0

\lim_{(h,k) \to (0,0)} \frac{h^{1/3}\sqrt{h^2+k^2}}{\sqrt{h^2+k^2}} = 0
\lim_{(h,k) \to (0,0)} h^{1/3} = 0

por lo tanto f(x,y) es diferenciable en el origen.

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2 respuestas a Tp.5 Cuestionario.e

  1. Andrea dijo:

    Hola Damián: Tengo dudas…porque tengo anotado que “Si f es diferenciable en a entonces f es continua en a”, pero en este ejercicio da que es diferenciable en el origen pero que no es continua en el origen!!

    Gracias!

    Saludos
    Andrea

    • dami dijo:

      Hola Andrea,
      Lo que tenés anotado está bien.
      En este ejercicio f es diferenciable (y contínua) en el origen, lo que no es contínua es f'_x
      Saludos,
      Damián.

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