Tp.4 Ej.17

Para tiempo t \geq 0 dos puntos siguen trayectorias definidas por X = (t+1, g(t), 1+t^2) y X=(2t, g'(t), 2t^2) respectivamente, determine g(t) sabiendo que en todo momento las trayectorias son paralelas y que en t=1 ambos puntos están en el (2,2,2)

Solución:

Dos curvas son paralelas si sus vectores tangentes son paralelos. Por lo tanto primero debemos obtener el vector tangente a cada curva en cada punto, para eso derivamos:

C_1(t) = (t+1, g, 1+t^2)
C'_1(t) = (1, g', 2t)

C_2(t) = (2t, g', 2t^2)
C'_2(t) = (2, g'', 4t)

Para que sean paralelos debe cumplirse que:
(1, g', 2t) = \lambda (2, g'', 4t)
o sea:

1 = \lambda 2
g' = \lambda g''
2t = \lambda 4t

de la primera sale que \lambda = \frac{1}{2}, y verifica directamente la tercera ecuación.
En la segunda queda:
g' = \frac{1}{2}g''
que es una ecuación diferencial de segundo orden:

g'' - 2g' = 0

Sustituyo w = g'

w' - 2w = 0
\int \frac{dw}{w} = \int 2 dt
\ln|w| = 2t + c
w = ke^{2t}

integramos nuevamente para obtener g:

g = \int k e^{2t}dt
= \frac{k}{2} e^{2t} + c

que es la solución general de la ecuación diferencial. Ahora debemos usar las condiciones iniciales para sacar las constantes:

de
C_2(1) = (2,2,2)
sale que
g'(1) = 2
por lo tanto:
ke^2 = 2
así que
k = 2e^{-2}
por otra parte de
C_1(1) = (2,2,2)
sale que
g(1) = 2
por lo tanto
e^0 + c = 2
así que
c = 1

Finalmente,
g(t) = e^{2t-2} + 1

Observación:
Ahora que tenemos g(t) tenemos definidas las trayectorias:

C_1(t) = (t+1, e^{2t-2}+1, 1+t^2)
C_2(t) = (2t, 2e^{2t-2}, 2t^2)

Estas dos curvas pasan por el mismo punto y son paralelas, y aún así no se trata de una misma curva… ¿Cómo es esto posible?
Con las rectas esto no pasaba puesto que si dos rectas son paralelas y se intersectan en algún punto, se intersectan también en todos los demás, es decir, se trata en realidad de una misma recta.
En este caso como no se trata de rectas, puede que ocurra que se intersecten las dos curvas en un solo punto, aunque sean paralelas.
En el siguiente gráfico puede observarse la curva C_1 en color azul, y la curva C_2 en color rojo, y en amarillo la transformación contínua de la primera curva en la segunda con la propiedad de mantenerla paralela, es decir simplemente trasladamos y ensanchamos proporcionalmente la curva C_1 hasta llegar a la curva C_2.

tp4_ej17
apply(draw, append([terminal=animated_gif, delay=20],
makelist(gr3d(
rot_vertical=140, rot_horizontal=200, surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color=blue, line_width = 3,
parametric(t+1, (%e)^(2*t-2)+1, 1+t^2,t,-1,3),
color=red, line_width = 3,
parametric(2*t,2*(%e)^(2*t-2), 2*t^2,t,-1,3),
color=cyan, line_width = 5,
parametric(2, 2, 2,t,0,1),
color=yellow, line_width=3,
parametric(t*(k/15+1)+1*(1-k/15),
(k/15+1)*(%e)^(2*t-2)+1*(1-k/15),
(k/15+1)*t^2+1*(1-k/15),t,-1,3)
),
k,0,15)))$

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