Para tiempo dos puntos siguen trayectorias definidas por
y
respectivamente, determine
sabiendo que en todo momento las trayectorias son paralelas y que en
ambos puntos están en el
Solución:
Dos curvas son paralelas si sus vectores tangentes son paralelos. Por lo tanto primero debemos obtener el vector tangente a cada curva en cada punto, para eso derivamos:
Para que sean paralelos debe cumplirse que:
o sea:
de la primera sale que , y verifica directamente la tercera ecuación.
En la segunda queda:
que es una ecuación diferencial de segundo orden:
Sustituyo
integramos nuevamente para obtener g:
que es la solución general de la ecuación diferencial. Ahora debemos usar las condiciones iniciales para sacar las constantes:
de
sale que
por lo tanto:
así que
por otra parte de
sale que
por lo tanto
así que
Finalmente,
Observación:
Ahora que tenemos tenemos definidas las trayectorias:
Estas dos curvas pasan por el mismo punto y son paralelas, y aún así no se trata de una misma curva… ¿Cómo es esto posible?
Con las rectas esto no pasaba puesto que si dos rectas son paralelas y se intersectan en algún punto, se intersectan también en todos los demás, es decir, se trata en realidad de una misma recta.
En este caso como no se trata de rectas, puede que ocurra que se intersecten las dos curvas en un solo punto, aunque sean paralelas.
En el siguiente gráfico puede observarse la curva en color azul, y la curva
en color rojo, y en amarillo la transformación contínua de la primera curva en la segunda con la propiedad de mantenerla paralela, es decir simplemente trasladamos y ensanchamos proporcionalmente la curva
hasta llegar a la curva
.
apply(draw, append([terminal=animated_gif, delay=20],
makelist(gr3d(
rot_vertical=140, rot_horizontal=200, surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color=blue, line_width = 3,
parametric(t+1, (%e)^(2*t-2)+1, 1+t^2,t,-1,3),
color=red, line_width = 3,
parametric(2*t,2*(%e)^(2*t-2), 2*t^2,t,-1,3),
color=cyan, line_width = 5,
parametric(2, 2, 2,t,0,1),
color=yellow, line_width=3,
parametric(t*(k/15+1)+1*(1-k/15),
(k/15+1)*(%e)^(2*t-2)+1*(1-k/15),
(k/15+1)*t^2+1*(1-k/15),t,-1,3)
),
k,0,15)))$