Tp.4 Ej.1.a

Definida la curva C como intersección de dos superficies S_1 y S_2 (C = S_1 \cap S_2):

  • parametrícela convenientemente y halle una ecuación para la recta tangente a C en A.
  • halle una ecuación cartesiana y una ecuación vectorial para el plano nomral a C en A,
  • analice si C s una curva plana o alabeada.

a) S_1: y = x^2
S_2: y+z = 5
A = (2,4,1)

Solución:

Parametrizo la curva como:
C(t) = (t, t^2, 5-t^2) con t \in \mathbb{R}
C(2) = A

El vector tangente es:
C'(t) = (1, 2t, -2t)
C'(2) = (1, 4, -4)

por lo tanto la recta tangente a C en A es:
r(t) = (2,4,1) + t(1,4,-4)
= (2+t, 4+4t, 1-4t)

la ecuación cartesiana del plano normal es:
[(x,y,z)-(2,4,1)](1,4,-4) = 0
(x-2, y-4, z-1)(1,4,-4) = 0
x - 2 + 4y - 16 - 4z + 4 = 0
x + 4y - 4z - 14 = 0

una ecuación vectorial del mismo plano (despejando x):
p(y,z) = (4z-4y+14, y, z) con y,z \in \mathbb{R}

Se trata de una curva plana por estar contenida en el plano y+z = 5

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