Tp.1 Ej.9.d

Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales lineales de 1º orden.

d) \frac{dy}{dx} - 2 \frac{y}{x} = x^2 \sin(3x)

Solución:

y' - 2\frac{y}{x} - x^2 \sin(3x) = 0

Por el método de Lagrange, sustituyo y = uv
y' = uv' + u'v

En la ecuación diferencial:
uv' + u'v - 2 \frac{uv}{x} - x^2 \sin(3x) = 0
u [v' - 2 \frac{v}{x}] + u'v - x^2 \sin(3x) = 0

Hacemos:
v' - 2\frac{v}{x} = 0
v' = 2\frac{v}{x}
\frac{dv}{v} = 2\frac{dx}{x}
\ln|v| = 2\ln|x|
v = x^2

Reemplazando:
u'x^2 - x^2\sin(3x) = 0
u' = \sin(3x)
u = -\frac{\cos(3x)}{3} + c

Finalmente:
y = uv
= -\frac{x^2\cos(3x)}{3} + cx^2
3y = cx^2 - x^2\cos(3x)

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