Tp.1 Ej.3.c

Lunes, septiembre 7th, 2009

Halle la ecuación diferencial correspondiente a las siguientes familias de curvas:

c) y = \sin(ax+b)

Solución:

Como tenemos dos constantes, la ecuación diferencial debe ser de segundo orden, así que derivamos dos veces:

y' = a\cos(ax+b)
y'' = -a^2\sin(ax+b)
= -a^2y

Elevando al cuadrado la derivada primera:
(y')^2 = a^2\cos^2(ax+b)
= a^2[1-\sin^2(ax+b)]
= a^2[1-y^2]

Despejando a^2:
a^2 = \frac{(y')^2}{1-y^2}

Reemplazando:
y'' = -\frac{(y')^2}{1-y^2}y
(1-y^2)y'' = -y(y')^2
y''(1-y^2) + y(y')^2 = 0

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