Tp.1 Ej.20

Sea la familia de curvas de ecuación y = Cx + C, calcule la longitud de la curva de la familia ortogonal que pasa por (1,2).

Solución:
Primero debemos obtener la ecuación diferencial de la familia original, derivando:

y = Cx + C
y = C(x+1)
C = \frac{y}{x+1}
y' = C
y' = \frac{y}{x+1}

Ahora reemplazamos y' por \frac{-1}{y'} para hallar la ecuación diferencial de la familia ortogonal:

\frac{-1}{y'} = \frac{y}{x+1}
yy' = -x-1
\frac{y^2}{2} = -\frac{x^2}{2} - x + c
\frac{x^2}{2} + x + \frac{y^2}{2} = c

Por las condiciones iniciales:
\frac{1}{2} + 1 + 2 = c
c = \frac{7}{2}

Por lo tanto la curva es:
\frac{x^2}{2} + x + \frac{y^2}{2} = \frac{7}{2}
x^2 + 2x + y^2 = 7
(x+1)^2 + y^2 = 8

Es una circunferencia de radio 2\sqrt{2}, por lo tanto la longitud de la curva la podemos sacar por la fórmula conocida 2\pi r y es 4\sqrt{2}\pi

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