Tp.1 Ej.2.b

Verifique que:
b) y = (2 - \ln(x))\sqrt{x} satisface 4x^2y'' + y = 0 \ \forall x / x > 0, con recta tangente de ec. y = 2 en (1,2)

Solución:
Para verificar que satisface la ecuación diferencial, vamos a necesitar hasta la derivada segunda:
y = 2\sqrt{x} - \ln(x)\sqrt{x}
= 2x^{1/2} - \ln(x)x^{1/2}
y' = x^{-1/2} - (\frac{1}{x} x^{1/2} + \ln(x)\frac{x^{-1/2}}{2})
= x^{-1/2} - \frac{x^{1/2}}{x} - \frac{\ln(x)x^{-1/2}}{2}
y'' = \frac{-x^{-3/2}}{2} - \frac{\frac{x^{-1/2}}{2}x - x^{1/2}}{x^2} - \frac{1}{2}(\frac{1}{x}x^{-1/2} - \frac{\ln(x)x^{-3/2}}{2})
= \frac{-x^{-3/2}}{2} - \frac{x^{-1/2}x - 2x^{1/2}}{2x^2} - \frac{x^{-1/2}}{2x} + \frac{\ln(x)x^{-3/2}}{4}

Ahora reemplazamos en la ecuación diferencial, primero hacemos:
4x^2 y'' = -2x^{1/2} - 2x^{1/2} + 4x^{1/2} - 2x^{1/2} + \ln(x)x^{1/2}
= x^{1/2}(\ln(x)-2)

Por lo tanto:
4x^2 y'' + y = x^{1/2}(\ln(x)-2) + (2 - \ln(x))\sqrt{x} = 0

lo cual verifica la ecuación diferencial.

Para la segunda parte debemos mostrar que y=2 es la recta tangente (horizontal) en (1,2)
Reemplazando en y:
y = (2 - \ln(x))\sqrt{x}
2 = (2 - 0)1
verificamos que el punto (1,2) pertenece a la curva (y a su recta tangente)
Reemplazando en y':
y' = x^{-1/2} - \frac{x^{1/2}}{x} - \frac{\ln(x)x^{-1/2}}{2}
= 1 - 1 - 0 = 0
lo cual verifica que la recta tangente es horizontal, por lo tanto es y=2

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