Final 15/02/2006 Ej.3

Sea \pi_0 el plano tangente a la superficie de ecuación x(z-y) + \ln(z+x-2)=0 en (0,2,z_0); calcule el área del trozo de plano \pi_0 cuyos puntos cumplen con: y \leq x, x+y \leq 1, 1º octante.

Solución:

Podemos calcular z_0 reemplazando en la ecuación:
0 + \ln(z_0 -2) = 0

por lo tanto z_0 = 3, y un punto del plano es el A: (0,2,3)

Para calcular el plano tangente, podemos hacerlo usando la propiedad de que el gradiente es normal a la superficie de nivel.
Definimos:
F(x,y,z) = x(z-y) + \ln(z+x-2)
por lo tanto la superficie es el conjunto de nivel 0 de F, o sea C_0(F)

Calculamos el gradiente:
\nabla F = (z-y + \frac{1}{z+x-2}, -x, x + \frac{1}{z+x-2})
reemplazamos en el punto A: (0,2,3)
\nabla F(A) = N = (2, 0, 1)
que es el vector normal al plano tangente, por lo tanto ya podemos escribir el plano:

\pi_0: (X-A) \cdot N = 0
[(x,y,z)-(0,2,3)] \cdot (2,0,1) = 0
(x, y-2, z-3) \cdot (2,0,1) = 0
2x + z - 3 = 0

Ahora la segunda parte del ejercicio es calcular el área de una región de este plano.
Podemos parametrizar el plano de la siguiente manera:
S(x,y) = (x,y,3-2x)

Analicemos las restricciones
(1) y \leq x
(2) x+y \leq 1
(3) 1º octante.

Buscamos la intersección de (1) con (2):
y=x
x+y=1
por lo tanto
x=y=\frac{1}{2}, es decir (x,y) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})

por lo tanto podemos tomar los límites de los parámetros como:
0 \leq y \leq \frac{1}{2}
y \leq x \leq 1-y

Vamos a necesitar la norma del vector normal para obtener el diferencial de superficie:
S(x,y) = (x,y,3-2x)

S'_x = (1,0,-2)
S'_y = (0,1,0)
N = S'_x \times S'_y = (2,0,1)
|N| = \sqrt{5}

Finalmente, el área de la región pedida es:
\sqrt{5} \int_{0}^{\frac{1}{2}} dy \int_{y}^{1-y} dx
= \sqrt{5} \int_{0}^{\frac{1}{2}} 1-2y dy
= \sqrt{5} [y-y^2]_{0}^{\frac{1}{2}}
= \sqrt{5} [\frac{1}{2} - \frac{1}{4}]
= \frac{\sqrt{5}}{4}

Anuncios

Responder

Por favor, inicia sesión con uno de estos métodos para publicar tu comentario:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s