Ejemplo de cuando el criterio del Hessiano no decide

Lunes, agosto 17th, 2009

Determine los extremos locales de f(x,y) = x^3 + xy^2

Solución:

Como es un polinomio sabemos que f \in C^2 por lo tanto podemos anular el gradiente y aplicar el hessiano.

\nabla f = (3x^2 + y^2, 2xy)

Por lo tanto por la condición necesaria:

(3x^2 + y^2, 2xy) = (0,0)

o sea:

3x^2 + y^2 = 0
2xy = 0

condiciones que sólo se cumplen en (x,y) = (0,0)

El hessiano es

H = \begin{pmatrix} 6x & 2y \\ 2y & 2x \end{pmatrix}

|H(0,0)| = \left| \begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} \right|
= 0

Por lo tanto el criterio no decide y debemos analizar el entorno de otra forma.

Pero si en el entorno de un punto (x_0, y_0) \in R^2 no se produce extremo (o sea que hay punto silla), entonces existe al menos un camino C(t): R \to R^2 que pasa por (x_0,y_0) en t_0, y por el cual podemos aproximarnos al punto de forma tal que f(C(t)) presente un punto silla en t_0, el cual podemos analizar como en Análisis 1 (es una función de reales en reales).

En este caso, veamos de aproximarnos al origen por rectas del tipo y = kx, o sea C(t) = (t, kt), la cual se aproxima al origen cuando t se aproxima a cero.

f(x,y) = x^3 + xy^2
f(C(t)) = t^3 + t^3k^2
= t^3 (k^2+1)

por ejemplo tomando k=0, nos queda f(C(t)) = t^3 la cual es positiva si nos acercamos por los 0^{+} y es negativa si nos acercamos por los 0^{-}, lo cual nos muestra que en realidad en el origen se produce un punto silla, y por lo tanto no hay extremos relativos para f en todo su dominio.

En este ejemplo otra forma de justificar que es un punto silla es notar que en el entorno del origen, f es positiva para los \{(x,y): x>0\} y es negativa para los \{(x,y): x<0\}.

En el gráfico se puede ver que si bien en el origen la función presenta un plano tangente horizontal, se trata en realidad de un punto silla.
criterio_hessiano_no_decide
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
explicit(x^3 + x*y^2,x,-2,2,y,-2,2),
color = "blue",
explicit(0,x,-2,2,y,-2,2),
color = "red", line_width=4,
parametric(0,0,0,t,0,1)
);

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6 comentarios el “Ejemplo de cuando el criterio del Hessiano no decide

  1. guillermo dice:

    Hola Damian, que sucede si el pto estacionario no fuera el (0,0) y el criterio del hessiano no clasificara, como seria el razonamiento,

    gracias.

    • damidami dice:

      Hola Guillermo,
      El razonamiento sería análogo al caso en que el punto estacionario es el (0,0), la única diferencia es que las curvas por las que te acercás deben pasar por dicho punto.
      Si te resulta mas cómodo podés aplicar una traslación a la función para llevar el punto estacionario al (0,0) y seguir el mismo análisis.
      Saludos,
      Damián.

  2. maria dice:

    para casos en en el que el hessiano es cero,se podria estudiar la existencia de extremos analizando los signos del incremento de la fucion(delta de f)?

    • dami dice:

      Hola María,
      Si, es posible estudiar extremos analizando cambios en el incremento de la función en el entorno, usando la definición de extremo.
      Saludos,
      Damián.

  3. maria dice:

    mi profesora de analisis en su apunte de clases tiene resuelto varios ejercicios de esta forma en el que el hessiano es cero,ella dice por ejemplo,que si la funcion dada es mayor o igual que cero,y la funcion incrementada(delta de f,la funcion incrementada menos la funcion sin incrementar)en el punto critico,tambien es mayor que cero,entonces exite minimo,,,es esto cierto?podrias darme algunaos criterios?,gracias,

  4. maria dice:

    seria de mucha ayuda si pudieras publicar otro ejemplo en el que el hessiano sea igual a cero,resuelto desde esta manera de la cual expongoanteriormente

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