Tp.11 Ej.9.c

Halle la S.G. de las siguientes ecuaciones diferenciales

c) y'' - 3y' + 2y = xe^x + 2x

Solución:

Primero vamos a hallar la solución de la ecuación diferencial homogénea asociada, es decir:

y'' - 3y' + 2y = 0

Proponemos una solución del tipo y = e^{\alpha x}, por lo tanto:
y' = \alpha e^{\alpha x}
y'' = \alpha^2 e^{\alpha x}

reemplazando:

\alpha^2 e^{\alpha x} - 3\alpha e^{\alpha x} + 2 e^{\alpha x} = 0
(\alpha^2 - 3 \alpha + 2)e^{\alpha x} = 0

Como e^{\alpha x} \neq 0 para todo x, la ecuación sólo se cumple cuando se anula el polinomio característico

\alpha^2 - 3\alpha + 2 = 0

Usamos la fórmula conocida

\alpha_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

\alpha_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2}

que nos dá las soluciones \alpha_1 = 2 y \alpha_2 = 1

Como \{ e^{x}, e^{2x} \} es L.I (linealmente independiente), entonces la solución de la ecuación diferencial homogenea es:

y = c_1 e^{x} + c_2 e^{2x}

Para obtener la S.G, solo nos falta encontrar la solución particular. Para ello vamos a usar el método de coeficientes indeterminados.

Como es una combinación de polinómica y exponenciales, en principio propongo como solución particular:

y = (ax^2+bx+c)e^x + (dx^2 + ex + f)

y' = (2ax + b)e^x + (ax^2+bx+c)e^x + (2dx + e)
= (2ax + b + ax^2 + bx + c)e^x + (2dx + e)
= (ax^2 + (2a+b)x + (b+c))e^x + (2dx + e)

y'' = (2a)e^x + (2ax+b)e^x + (2ax+b)e^x + (ax^2+bx+c)e^x + 2d
= (2a + 2ax+b + 2ax +b + ax^2+bx+c)e^x + 2d
= (ax^2 + (4a+b)x + (2a+2b+c))e^x + 2d

reemplazando en la ecuación diferencial:

(ax^2 + (4a+b)x + (2a+2b+c))e^x + 2d +
(-3ax^2 -3(2a+b)x - 3(b+c))e^x -6dx -3e +
2(ax^2+bx+c)e^x + 2(dx^2 + ex + f)
= xe^x + 2x

haciendo distributiva:
(ax^2 + (4a+b)x + (2a+2b+c))e^x + 2d +
(-3ax^2 + (-6a-3b)x + (-3b-3c))e^x -6dx -3e +
(2ax^2 + 2bx + 2c)e^x + (2dx^2 + 2ex + 2f)
= xe^x + 2x

operando:
((-2a)x + (2a-b))e^x + 2dx^2 + (-6d+2e)x + 2d -3e + 2f = xe^x + 2x

igualando término a término:

2d-3e+2f = 0
-6d+2e = 2
2d = 0
2a-b = 0
-2a = 1

por lo tanto

a = -1/2
b = -1
d = 0
e = 1
f = 3/2

como c se canceló solo, vale para todo valor de c, vamos a tomar c=0, con lo cual una solución particular es:

y = -\frac{1}{2}x^2 e^x - xe^x +x + \frac{3}{2}

finalmente, la solución general la calculamos mediante y_g = y_h + y_p

y = c_1 e^{x} + c_2 e^{2x} - \frac{1}{2}x^2 e^x - xe^x +x + \frac{3}{2}

Verificamos con el software Maxima:
eq: 'diff(y, x, 2) -3*'diff(y,x,1) + 2*y = x*exp(x) + 2*x;
sol2: ode2(eq, y, x);

nos retorna el resultado:
y=\%k1\,{e}^{2\,x}-\frac{\left( {x}^{2}+2\,x+2\right) \,{e}^{x}-2\,x-3}{2}+\%k2\,{e}^{x}

que es consistente con nuestro resultado.

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5 respuestas a Tp.11 Ej.9.c

  1. Federico dijo:

    ¿Por qué la solución particular se plantea como suma de polinomios de segundo grado? ¿Podría usarse y = (ax + b)e^2 + (cx + d)? Gracias!

    • dami dijo:

      Hola Federico,
      Veamos que pasa si proponemos eso como S.P
      y = (ax + b)e^x + (cx + d)
      y' = ae^x + (ax+b)e^x + c
      y'' = ae^x + ae^x + (ax+b)e^x
      = 2ae^x + (ax+b)e^x

      luego
      y'' - 3y' + 2y =
      = 2ae^x + (ax+b)e^x - 3ae^x - 3(ax+b)e^x - 3c + 2(ax+b)e^x + 2(cx+d)
      = 2ae^x - 3ae^x - 3c + 2(cx+d)
      = -ae^x - 3c + 2cx + 2d
      luego
      -ae^x - 3c + 2cx + 2d = xe^x + 2x
      acá podemos hacer
      2c = 2
      -3c + 2d = 0
      pero no hay forma de conseguir para todo x que
      -ae^x = xe^x

      El problema vino de que se cancelaron los términos que tenían (ax+b)e^x perdiendo la forma de generar xe^x

      Con considerar polinomios de grado 2 se solucionó el problema y pudimos usar coeficientes indeterminados.
      La otra opción es usar variación de parámetros como en este ejemplo

      Espero te haya aclarado el tema, saludos,
      Damián.

  2. Federico dijo:

    Perfecto Damián, muchísimas gracias!
    Entonces en general conviene usar polinomios de segundo grado, para evitar este problema? O es un caso muy particular?

    • dami dijo:

      Acordate que con el método de coeficientes indeterminados en gran medida se trata de “adivinar” de que forma es la solución. Sólo funciona con polinomios, exponenciales y trigonométricas (y combinaciones de ellas, como este ejercicio)
      Si proponés una solución y trae problemas como la que propusistes en el comentario anterior, es probable que aumentando el grado al polinomio se solucione.
      Caso contrario, habrá que intentar con otro método más general como el de variación de parámetros.
      Saludos,
      Damián.

  3. Federico dijo:

    Buenísimo, muchas gracias!

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