Ecuaciones diferenciales exactas

Miércoles, agosto 12th, 2009

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden escrita de la forma:

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

es exacta si el campo vectorial asociado:

f(x,y) = (M(x,y), N(x,y))

es conservativo.

La solución general de una ecuación diferencial exacta viene dada por
F(x,y) = c

donde F(x,y) es la función potencial del campo vectorial asociado.

Demostración:
Vamos a comprobar que F(x,y) = c es solución de la ecuación diferencial. Suponemos y en función de x y derivamos implícitamente:

y' = - \frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}

Como F(x,y) es la función potencial del campo vectorial f(x,y):

\frac{dy}{dx} = - \frac{M(x,y)}{N(x,y)}

o lo que es lo mismo:

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

que es lo que queríamos mostrar.

Anuncios

Responder

Por favor, inicia sesión con uno de estos métodos para publicar tu comentario:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: