Ecuaciones diferenciales homogéneas de 1º orden

Primero necesitamos la definición de función homogénea.
Una función f:D \in R^2 \to R se dice homogénea de grado n si:
f(tx,ty) = t^n f(x,y)

para todo t > 0 y todo (x,y) \in D.

Ejemplos:
f(x,y) = \frac{1}{\sqrt{x+y}} es homogénea de grado \frac{1}{2}

f(x,y) = e \frac{x}{y} es homogénea de grado 0

f(x,y) = \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} es homogénea de grado 0

f(x,y) = xy es homogénea de grado 2.

Ahora sí podemos definir una ecuación diferencial homogénea:

Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden:
y' = f(x,y)
es homogénea si la función f(x,y) es homogénea de orden cero.

Un teorema importante de este tipo de ecuaciones diferenciales es el siguiente:

Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden:
y' = f(x,y)
es homogénea, entonces el cambio de variables:
y = zx
la reduce a una ecuación diferencial de variables separables.

Demostración:
Al sustituir obtenemos:

z'x + z = f(x,zx)

pero como f(x,y) es homogénea de grado cero entonces:

\frac{dz}{dx}x + z = x^0 f(1,z)

entonces:

\frac{dz}{dx}x = f(1,z)-z

\frac{dz}{f(1,z)-z} = \frac{dx}{x}

lo cual muestra que es de variables separables.

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2 respuestas a Ecuaciones diferenciales homogéneas de 1º orden

  1. Jesica dijo:

    Buenas, el 9.b que es una ecuacion de 3er orden, como se resuelve?

    • dami dijo:

      Hola Jésica,
      La resolución de las EDO lineales a coeficientes constantes de orden n, es análoga a la resolución de las de orden 2.

      Es decir la solución general se puede expresar como y = y_h + y_p donde y_h es la SG de la homogénea asociada, y y_p es una SP.

      Para la homogénea proponés y = e^{\alpha x} (y seguís como siempre) y para la particular podés usar coeficientes indeterminados.

      Suerte,
      Damián.

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