E1) Calcule la circulación del campo 
Hay dos formas de resolver este ejercicio. Una es notar que 
Primero parametrizamos la curva:
Como queremos ir desde 
![= -[ t^3 + 4t^2]_0^2](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D+-%5B+t%5E3+%2B+4t%5E2%5D_0%5E2&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002 "= -[ t^3 + 4t^2]_0^2")
E2) Halle el volumen del cuerpo definido por 
El gráfico correspondiente es
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 0, u, 0, 3, v, 0, 1.1071),
reparametrize(3*cos(u), 3*sin(u), v, u, 0, 1.1071, v, 0, 6*cos(u)),
reparametrize(u, 0, v, u, 0, 3, v, 0, 2*u),
reparametrize(u, 2*u, v, u, 0, 3*sqrt(5)/5, v, 0, 2*u),
reparametrize(u*cos(v), u*sin(v), 2*u*cos(v), u, 0, 3, v, 0, 1.1071)
);
Vamos a usar coordenadas cilíndricas sobre el eje z. Primero debemos saber el ángulo 
![= [\sin(\phi)]_0^{\arctan(2)} [2 \frac{\rho^3}{3}]_0^3 \approx (0,8944)(18) \approx 16,0996...](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D+%5B%5Csin%28%5Cphi%29%5D_0%5E%7B%5Carctan%282%29%7D+%5B2+%5Cfrac%7B%5Crho%5E3%7D%7B3%7D%5D_0%5E3+%5Capprox+%280%2C8944%29%2818%29+%5Capprox+16%2C0996...&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002 "= [\sin(\phi)]_0^{\arctan(2)} [2 \frac{\rho^3}{3}]_0^3 \approx (0,8944)(18) \approx 16,0996...")
E3) Determinar el área de la superficie 
Primero parametrizo la superficie
con
Ahora calculamos el vector normal
Vamos a necesitar la norma del vector normal:
La integral de superficie queda:
![[\frac{(4x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{12}]_0^1 = \frac{-1+5\sqrt{5}}{12} \approx 0,8483...](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5B%5Cfrac%7B%284x%5E2%2B1%29%5E%7B%5Cfrac%7B3%7D%7B2%7D%7D%7D%7B12%7D%5D_0%5E1+%3D+%5Cfrac%7B-1%2B5%5Csqrt%7B5%7D%7D%7B12%7D+%5Capprox+0%2C8483...&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002 "[\frac{(4x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{12}]_0^1 = \frac{-1+5\sqrt{5}}{12} \approx 0,8483...")
El siguiente gráfico muestra la superficie en celeste, y la proyección sobre el plano xz en color rojo.
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
reparametrize(u, u^2, v, u, 0, 1, v, 0, u),
color = "light-red",
reparametrize(u,0,v,u,0,1,v,0,u)
);
E4) Calcular el flujo del campo 
Por tratarse de la frontera de un cuerpo, la superficie es cerrada, y se puede aplicar el teorema de la divergencia.
Veamos como se intersectan las superficies:
Por lo tanto se intersectan en una circunferencia de radio unitario, sobre el plano
La superficie es simétrica respecto del eje z, por lo que vamos a usar coordenadas cilíndricas.
![= 2[\frac{\sin^2(\phi)}{2}]_0^{2\pi} ...](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%3D+2%5B%5Cfrac%7B%5Csin%5E2%28%5Cphi%29%7D%7B2%7D%5D_0%5E%7B2%5Cpi%7D+...&bg=ffffff&fg=333333&s=0&c=20201002 "= 2[\frac{\sin^2(\phi)}{2}]_0^{2\pi} ...")
En el siguiente gráfico podemos ver las superficies que limitan el cuerpo, donde el ‘techo’ se graficó abierto para que se pueda visualizar el ‘piso’:
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 1-u^2, u, 0, 1, v, 0, 2*%pi),
color = "light-red",
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 2-2*u^2, u, 0, 1, v, 0, 2*%pi*0.90)
);
.
En el ejercicio E1 del 2do parcial del 07/08/09 me parece que en la resolucion cambio de orden las variables. porque? es un error??
Hola Karina,
No es un error. Si querés la circulación en el sentido contrario podés cambiarle el signo a la integral y listo. (La orientación sólo te cambia el signo de la integral).
Saludos,
Damián.