Segundo parcial 07/08/2009

E1) Calcule la circulación del campo f(x,y,z) = (y,x,z) desde (2,8,4) hasta (0,0,0) a lo largo del arco de curva C definida por la intersección de las superficies de ecuación y = x^2+z; z=2x

Hay dos formas de resolver este ejercicio. Una es notar que f admite función potencial con lo cual podemos hallar la misma y usarla para obtener la circulación. O sinó podemos hacer el cálculo directo con la integral de linea. Vamos a usar este último método.
Primero parametrizamos la curva:
c(t) = (t, t^2+2t, 2t) con 2 \geq t \geq 0
Como queremos ir desde t=2 hasta t=0, vamos a tener que cambiar el signo de la integral, o reparametrizar la curva.
c'(t) = (1, 2t + 2, 2)
-\int_0^2 (t^2 + 2t, t, 2t)(1, 2t + 2, 2)dt
= -\int_0^2 t^2 + 2t + 2t^2 + 2t + 4t dt
= -\int_0^2 3t^2 + 8t dt
= -[ t^3 + 4t^2]_0^2
= -24

E2) Halle el volumen del cuerpo definido por x^2 + y^2 \leq 9; y \leq 2x; z \leq 2x; 1º octante.

El gráfico correspondiente es
parcial_7_8_9_ej2
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 0, u, 0, 3, v, 0, 1.1071),
reparametrize(3*cos(u), 3*sin(u), v, u, 0, 1.1071, v, 0, 6*cos(u)),
reparametrize(u, 0, v, u, 0, 3, v, 0, 2*u),
reparametrize(u, 2*u, v, u, 0, 3*sqrt(5)/5, v, 0, 2*u),
reparametrize(u*cos(v), u*sin(v), 2*u*cos(v), u, 0, 3, v, 0, 1.1071)
);

Vamos a usar coordenadas cilíndricas sobre el eje z. Primero debemos saber el ángulo \phi donde el plano y=2x corta al cilindro x^2+y^2 = 9. Pero la pendiente de y=2x es 2, por lo tanto \tan(\phi) = 2, finalmente \phi = \arctan(2)

\int_0^{\arctan(2)} d\phi \int_0^3 \rho d\rho \int_0^{2\rho \cos(\phi)} dz
= \int_0^{\arctan(2)} \cos(\phi) d\phi \int_0^3 2\rho^2 d\rho
= [\sin(\phi)]_0^{\arctan(2)} [2 \frac{\rho^3}{3}]_0^3 \approx (0,8944)(18) \approx 16,0996...

E3) Determinar el área de la superficie \Sigma, de ecuación y = x^2, con 0 \leq z \leq x; x \leq 1, 1º octante.

Primero parametrizo la superficie
S(x,z) = (x, x^2, z)
con
0 \leq x \leq 1
0 \leq z \leq x

Ahora calculamos el vector normal
S'_x = (1,2x,0)
S'_y = (0,0,1)
N = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & 2x & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right|
= i(2x) - j(1) + k(0)
= (2x,-1,0)

Vamos a necesitar la norma del vector normal:
|N| = \sqrt{4x^2 + 1}

La integral de superficie queda:
\int_0^1 \sqrt{4x^2+1} dx \int_0^x dz
\int_0^1 x \sqrt{4x^2+1} dx
[\frac{(4x^2+1)^{\frac{3}{2}}}{12}]_0^1 = \frac{-1+5\sqrt{5}}{12} \approx 0,8483...

El siguiente gráfico muestra la superficie en celeste, y la proyección sobre el plano xz en color rojo.

parcial_7_8_9_ej3
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
reparametrize(u, u^2, v, u, 0, 1, v, 0, u),
color = "light-red",
reparametrize(u,0,v,u,0,1,v,0,u)
);

E4) Calcular el flujo del campo f(x,y,z) = (x^2y, y \sin(z), \cos(z)) a través de la superficie frontera del cuerpo definido por 1 - x^2 - y^2 \leq z \leq 2 - 2x^2 - 2y^2 indique la orientación elegida para la superficie.

Por tratarse de la frontera de un cuerpo, la superficie es cerrada, y se puede aplicar el teorema de la divergencia.

div(f) = 2xy + \sin(z) - \sin(z)
= 2xy

Veamos como se intersectan las superficies:
1-x^2-y^2 = 2-2x^2-2y^2
x^2+y^2 = 1
Por lo tanto se intersectan en una circunferencia de radio unitario, sobre el plano z=0
La superficie es simétrica respecto del eje z, por lo que vamos a usar coordenadas cilíndricas.

2 \int_0^{2\pi} \cos(\phi)\sin(\phi) d\phi \int_0^1 \rho^3 d\rho \int_{1-\rho^2}^{2-2\rho^2} dz
= 2[\frac{\sin^2(\phi)}{2}]_0^{2\pi} ...
= 0

En el siguiente gráfico podemos ver las superficies que limitan el cuerpo, donde el ‘techo’ se graficó abierto para que se pueda visualizar el ‘piso’:
parcial_7_8_9_ej4
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 1-u^2, u, 0, 1, v, 0, 2*%pi),
color = "light-red",
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 2-2*u^2, u, 0, 1, v, 0, 2*%pi*0.90)
);

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2 respuestas a Segundo parcial 07/08/2009

  1. karina dijo:

    En el ejercicio E1 del 2do parcial del 07/08/09 me parece que en la resolucion cambio de orden las variables. porque? es un error??

    • dami dijo:

      Hola Karina,
      No es un error. Si querés la circulación en el sentido contrario podés cambiarle el signo a la integral y listo. (La orientación sólo te cambia el signo de la integral).
      Saludos,
      Damián.

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