E1) Calcule la circulación del campo desde
hasta
a lo largo del arco de curva
definida por la intersección de las superficies de ecuación
;
Hay dos formas de resolver este ejercicio. Una es notar que admite función potencial con lo cual podemos hallar la misma y usarla para obtener la circulación. O sinó podemos hacer el cálculo directo con la integral de linea. Vamos a usar este último método.
Primero parametrizamos la curva:
con
Como queremos ir desde hasta
, vamos a tener que cambiar el signo de la integral, o reparametrizar la curva.
E2) Halle el volumen del cuerpo definido por ;
;
; 1º octante.
El gráfico correspondiente es
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 0, u, 0, 3, v, 0, 1.1071),
reparametrize(3*cos(u), 3*sin(u), v, u, 0, 1.1071, v, 0, 6*cos(u)),
reparametrize(u, 0, v, u, 0, 3, v, 0, 2*u),
reparametrize(u, 2*u, v, u, 0, 3*sqrt(5)/5, v, 0, 2*u),
reparametrize(u*cos(v), u*sin(v), 2*u*cos(v), u, 0, 3, v, 0, 1.1071)
);
Vamos a usar coordenadas cilíndricas sobre el eje z. Primero debemos saber el ángulo donde el plano
corta al cilindro
. Pero la pendiente de
es 2, por lo tanto
, finalmente
E3) Determinar el área de la superficie , de ecuación
, con
;
, 1º octante.
Primero parametrizo la superficie
con
Ahora calculamos el vector normal
Vamos a necesitar la norma del vector normal:
La integral de superficie queda:
El siguiente gráfico muestra la superficie en celeste, y la proyección sobre el plano xz en color rojo.
reparametrize(f1,f2,f3,iv,iv0,iv1,dv,dv0,dv1) :=
apply( 'parametric_surface, append(
subst([ iv = 'u , dv = (1-'v)*subst([iv='u],dv0) + 'v * subst([iv='u],dv1) ], [f1,f2,f3]),
['u, iv0, iv1, 'v, 0, 1])
);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
reparametrize(u, u^2, v, u, 0, 1, v, 0, u),
color = "light-red",
reparametrize(u,0,v,u,0,1,v,0,u)
);
E4) Calcular el flujo del campo a través de la superficie frontera del cuerpo definido por
indique la orientación elegida para la superficie.
Por tratarse de la frontera de un cuerpo, la superficie es cerrada, y se puede aplicar el teorema de la divergencia.
Veamos como se intersectan las superficies:
Por lo tanto se intersectan en una circunferencia de radio unitario, sobre el plano
La superficie es simétrica respecto del eje z, por lo que vamos a usar coordenadas cilíndricas.
En el siguiente gráfico podemos ver las superficies que limitan el cuerpo, donde el ‘techo’ se graficó abierto para que se pueda visualizar el ‘piso’:
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 1-u^2, u, 0, 1, v, 0, 2*%pi),
color = "light-red",
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 2-2*u^2, u, 0, 1, v, 0, 2*%pi*0.90)
);
En el ejercicio E1 del 2do parcial del 07/08/09 me parece que en la resolucion cambio de orden las variables. porque? es un error??
Hola Karina,
No es un error. Si querés la circulación en el sentido contrario podés cambiarle el signo a la integral y listo. (La orientación sólo te cambia el signo de la integral).
Saludos,
Damián.