Tp.12 Ej.8.b

Estudie la existencia de extremos relativos (locales) y de extremos absolutos en sus dominios naturales de:
b) f(x,y) = x^3 - x^2 + xy

Como es una función polinomica es diferenciable, analicemos sus puntos críticos. Para eso primero calculamos el gradiente:

\nabla f = (3x^2 - 2x + y, x)

Y lo igualamos a cero:
(3x^2 - 2x + y, x) = (0,0)
o sea:
3x^2 - 2x + y = 0
x=0

de la primer ecuación:
y = 2x - 3x^2
usando la segunda ecuación:
y = 0

por lo tanto el único punto crítico es P_1 = (0,0)

Vamos a analizarlo mediante el criterio del Hessiano:
H = \begin{pmatrix} 6x-2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

H(0,0) = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Por lo tanto
|H(0,0)| = -1 < 0

lo cual nos dice que en P_1 la función presenta un punto silla, y por lo tanto no hay extremos.

En el siguiente gráfico se puede visualizar la función y el plano tangente horizontal correspondiente a P_1, donde puede verse que en el entorno del punto parte de la función queda en la parte superior del plano, mientras que otra parte queda en la parte inferior del mismo, lo cual indica gráficamente que no se trata de un extremo sino de un punto silla.
tp12_ej8b
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
explicit(x^3 - x^2 + x*y,x,-1,1,y,-1,1),
color = "blue",
explicit(0,x,-1,1,y,-1,1),
color = "red", line_width=4,
parametric(0,0,0,t,0,1)
);

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Un comentario en “Tp.12 Ej.8.b

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