Criterio del Hessiano

Miércoles, agosto 5th, 2009
Para analizar los extremos de funciones de una función f \in C^2 de dos o mas variables, a veces resulta útil utilizar el criterio del Hessiano para clasificar los puntos críticos.
Primero recordemos que los puntos críticos son aquellos que anulan el gradiente, es decir los que satisfacen:
\nabla f = 0
Luego, para cada uno de estos puntos, calculamos el determinante de la <a href=”http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_hessiana”>matriz hessiana</a>, la cual es simplemente el jacobiano del gradiente, o lo que es lo mismo, la matriz con las derivadas segundas de f.  Esta matriz es simétrica puesto que f \in C^2 y por el <a href=”http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Clairaut”>teorema de Schwartz</a> las derivadas segundas mixtas son iguales.
Vamos a analizar primero el caso de 2 variables xy:
H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}
El criterio nos dice:
Si |H| > 0 hay extremo.  En ese caso si h_{11} = f_{xx} > 0 hay un mínimo relativo.  En cambio si h_{11} = f_{xx} < 0 hay un máximo relativo.
Si |H| = 0 el criterio no decide y debemos buscar otra forma de analizar el punto crítico.
Si |H| < 0 entonces hay un punto silla y por lo tanto no es extremo.
Ahora analicemos el caso de 3 variables xyz:
H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} & f_{xz} \\ f_{yx} & f_{yy} & f_{yz} \\ f_{zx} & f_{zy} & f_{zz} \end{pmatrix}
Si |H_1| > 0, |H_2| > 0, |H_3| > 0 entonces hay un mínimo relativo.
Si |H_1| < 0, |H_2| > 0, |H_3| < 0 entonces hay un máximo relativo.
(Nótese que en este segundo caso los signos se van alternando, empezando por un valor negativo, esto se generaliza a n variables)
En cualquier otro caso el criterio no decide, y hay que buscar otra forma de analizar el punto crítico.

Para analizar los extremos de funciones de una función f \in C^2 de dos o mas variables, a veces resulta útil utilizar el criterio del Hessiano para clasificar los puntos críticos.

Primero recordemos que los puntos críticos son aquellos que anulan el gradiente, es decir los que satisfacen:

\nabla f = 0

Luego, para cada uno de estos puntos, calculamos la matriz hessiana, la cual es simplemente el jacobiano del gradiente de f, o lo que es lo mismo, la matriz con las derivadas segundas de f.

Esta matriz es simétrica puesto que f \in C^2 y por el teorema de Schwartz las derivadas segundas mixtas son iguales.

Vamos a analizar primero el caso de 2 variables xy:

H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}

El criterio nos dice:

Si |H| > 0 hay extremo.  En ese caso si h_{11} = f_{xx} > 0 hay un mínimo relativo.  En cambio si h_{11} = f_{xx} < 0 hay un máximo relativo.

Si |H| = 0 el criterio no decide y debemos buscar otra forma de analizar el punto crítico.

Si |H| < 0 entonces hay un punto silla y por lo tanto no es extremo.

Ahora analicemos el caso de 3 variables xyz:

H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} & f_{xz} \\ f_{yx} & f_{yy} & f_{yz} \\ f_{zx} & f_{zy} & f_{zz} \end{pmatrix}

En este caso vamos a necesitar analizar un poco más la matriz para clasificar el punto crítico, ya que necesitaremos los siguientes determinantes:

|H_1| = h_{11}

|H_2| = \left| \begin{matrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{matrix} \right|

|H_3| = |H|

Luego, el criterio nos dice que:

Si |H_1| > 0, |H_2| > 0, |H_3| > 0 entonces hay un mínimo relativo.

Si |H_1| < 0, |H_2| > 0, |H_3| < 0 entonces hay un máximo relativo.

(Nótese que en este segundo caso los signos se van alternando, empezando por un valor negativo, esto se generaliza a n variables)

Si |H_1| \neq 0, |H_2| \neq 0, |H_3| \neq 0, pero no se satisface ninguna de las formas anteriores, entonces hay un punto silla.

En cualquier otro caso, que sería cuando alguno de los determinantes vale cero, el criterio no decide, y hay que buscar otra forma de analizar el punto crítico.

Anuncios

12 comentarios el “Criterio del Hessiano

  1. fernando chiesa (estaba de oyente en el curso de los martes y jueves por la noche) dice:

    mira tengo un problema con un ej de final donde el criterio del hessiano no concluye (el det=0) como resuelvo en esos casos como determino si es maximo o minimo
    f(x,y)=x´3+xy´2 es la funcion a extremar y dice determine si en f(0,0)se produce un extremo local

    • damidami dice:

      Hola Fernando,

      Cuando el criterio del Hessiano no decide, y existe extremo relativo, por lo general es fácil demostrar que en el entorno del punto no pueden haber valores inferiores al mismo. Por ejemplo f(x,y) = x^4 + y^4 en el origen presenta un mínimo relativo ya que f(0,0) = 0 y la función no puede tomar valores negativos, aunque el hessiano se anule.

      Cuando el criterio no decide y no se trataba de un extremo (era un punto silla), entonces un método de probarlo podría ser encontrar un camino que en la medida que se aproxima a dicho punto, la función presente un punto silla, el cual se puede analizar de la misma manera que en Análisis 1 ya que al componer resulta una función de reales en reales. Tomando como ejemplo la función de tu ejercicio:

      https://analisis2.wordpress.com/2009/08/17/ejemplo-de-cuando-el-criterio-del-hessiano-no-decide/

      Saludos,
      Damián.

  2. Bruno dice:

    MUCHISIMAS Gracias!!!! Estudio lic. en fisica y mañana tengo parcial de analisis 2. no encontre en ningun libro (“calculo vectorial” de marden-tromba es el que mas uso) que pasaba si H1 era =0!!. Ojala mi catedra tuviera un blog asi..

    • damidami dice:

      Hola Bruno,
      Muchas gracias por el comentario, me alegro que te haya servido el blog.
      En que facultad estudiás la lic. en física?
      El Tromba es muy buen libro de análisis 2, yo suelo recomendarlo, aunque hay muchos libros buenos (Stewart, Pita Ruiz, Spivak, …)
      Suerte en el parcial mañana! Si querés después contame como te fué.
      Saludos,
      Damián.

  3. stephanie dice:

    hola sabes necesito ayuda con lo siguiente:
    1800x+2000y+2100z

    se desarrolla con Hessiano, y de verdad te agradeceria que lo pudieras desarrollar y enviarme el procedemiento, porfavor.
    Lo necesito urgente….
    Gracias

  4. Maria dice:

    hola… tengo la funcion que con la derivada primera me da
    Zx=2x+y-6
    Zy=x+2y-6

    aplicando la derivada parciales de estas me da
    Zxx = 2
    Zxy = 0
    Zyx = 0
    Zyy = 2

    aplicando hessiano me da 4 y nose que pasa despues si queda como contante al no tenes ni una x o y para poder reemplazar con los valores de los puntos critico… nose como proseguir me seria de mucha ayuda si me quiaras un poco gracias!!!

    • dami dice:

      Hola María,
      Si la derivada primera te quedó
      f'_x = 2x+y-6
      f'_y = x+2y-6
      Entonces las derivadas segundas te quedan
      f''_{xx} = 2
      f''_{xy} = 1
      f''_{yx} = 1
      f''_{yy} = 2
      Fijate que no coincide con lo que te dió a vos, y el hessiano da 3 no 4. De todas formas significa que hay extremo. Los puntos críticos los tenés que sacar de igualar a cero el gradiente, te quedaría el sistema
      2x+y-6 = 0
      x+2y-6 = 0
      lo resolvés para encontrar los puntos críticos, de todas formas la matriz quedó constante así que es la misma, en cada punto crítico hay un mínimo local porque f'_xx = 2 > 0

      Ahh, ahora vuelvo a leer tu comentario me doy cuenta que lo que te confunde es precísamente que las funciones que aparecen en el hessiano son constantes, al evaluar en cualquier punto dan siempre lo mismo, no te preocupes.

      Saludos,
      Damián.

  5. Isabel Sammet dice:

    Hola!!
    Muchisimas gracias por la infomacion muy completo y conciso, ando estudiando Ing en Computacion y me ha sido de gran ayuda.
    Tengo una duda, en mi clase de Calculo Vectorial me dejaron observar los puntos críticos de la funcion z=1-(x^2-y^2)^(1/2) Pero al realizar el Hessiano con las derivadas parciales dobles y mixtas todo m queda sobre cero, porlo que el Det del Hessiano no existe. Eso que quiere decir o como, no lo termino por comprender. Al observar la figura en 3D observo un medio cono, pero eso que quiere decir?. Gracias 🙂

    • dami dice:

      Hola Isabel,
      Cuando el hessiano da cero el criterio no decide, es decir que tenes que probar si hay extremo de otra forma, como usando la definición de extremo.
      Seguro que al graficar te queda un semicono? Me parece que eso seria con un + dentro de la raíz.
      Por curiosidad, en que facultad estudias?
      Saludos,
      Damian.

  6. valentina dice:

    Hola, te hago una consulta.. que criterio uso si el Hessiano me da cero, para determinar un minimo o máximo? como generalidad.. Muchas Gracias

  7. campero2013 dice:

    Buenas me he encontrado el blog por casualidad y la verdad es que tiene muy buena pinta, estudio Teleco y hay veces que es complicado encontrar soluciones a cuestiones que me surgen al estudiar matemáticas.
    ¿Te dedicas a dar clase en alguna facultad o algo por el estilo?

  8. Muchas gracias, aunque es de lo primero que se enseña siempre me olvido y me hago un lío con las mil explicaciones diferentes de internet y libros. Me quitaste de todo ese lío con este esclarecedor y sencillo post, gracias!!

Responder

Por favor, inicia sesión con uno de estos métodos para publicar tu comentario:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s

A %d blogueros les gusta esto: