Final 01/08/2006 Ej.2.b

01_08_2006_ej_2b
En la figura de la derecha se representa la forma de un recipiente cuya ecuación es z = 8x^2 +8y^2 -(x^2 + y^2)^2 con (x,y) \in [-2,2]\times[-2,2]; el recipiente se apoya en el plano xy en las puntas y en el origen.

Considere que la expresión dada permite calcular z en centímetros cuando x e y están expresados en cm.

Calcule el volumen de líquido que contiene el recipiente cuando se lo llena exactamente hasta el borde superior.

Solución:

Analicemos la función z=f(x,y)
z = 8x^2 +8y^2 - (x^2 + y^2)^2
= 8(x^2 + y^2) - (x^2 + y^2)^2
Pasemos a coordenadas cilíndricas sobre el eje z:
z = 8 \rho^2 - \rho^4
Como queremos hallar el máximo z para saber la altura del recipiente, derivamos e igualamos a cero:
16\rho - 4\rho^3 = 0
\rho(16-4\rho^2) = 0
de donde se desprende \rho_1=0, \rho_2 = 2, \rho_3 = -2
\rho_3 no nos sirve porque sería un radio negativo.
Analicemos con el criterio de la derivada segunda:
16 - 12\rho_1^2 = 16 > 0 por lo tanto hay un mínimo relativo en (0,0,0), como se ve en el gráfico.
16 - 12\rho_2^2 = -32 < 0 por lo tanto hay un máximo relativo en (2\cos(\phi), 2\sin(\phi), 16) que es una circunferencia de radio 2 en el plano z=16

Por lo tanto la altura del recipiente es de 16cm, calculamos el volumen mediante una integral triple en coordenadas cilíndricas:

\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^2 \rho d\rho \int_{8 \rho^2 - \rho^4}^{16} dz
2\pi \int_0^2 16\rho - 8\rho^3 + \rho^5 d\rho
2\pi [8\rho^2 - 2\rho^4 + \frac{\rho^6}{6}]_0^2
= \frac{64}{3} \pi

Por lo tanto el volumen de líquido que contiene el recipiente es de \frac{64}{3}\pi cm^3 \approx 67,02064 cm^3

01_08_2006_ej_2b_bis
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
explicit(8*x^2+8*y^2-(x^2+y^2)^2,x,-2,2,y,-2,2),
color = "blue",
parametric(2*cos(t), 2*sin(t), 16,t,0,2*%pi)
);

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8 respuestas a Final 01/08/2006 Ej.2.b

  1. Germán dijo:

    Creo que hay un error

    2\pi \int_0^2 16\rho - 8\rho^3 + \rho^5 d\rho

    En vez de ser

    2\pi [8\rho^2 - 2\rho^4 + \frac{\rho^5}{5}]_0^2

    Debería ser \rho^6

    2\pi [8\rho^2 - 2\rho^4 + \frac{\rho^6}{6}]_0^2

    Y el resultado sería \frac{64}{3} \pi

    Saludos

  2. Emmanuel dijo:

    Disculpa que te moleste con este ejercicio, pero queria preguntarte si en vez de sacar los extremos con la derivada 1º y 2º , se podian sacar con los puntos [-2;2]*[-2;2] , ya que te los da como puntos limites. Si tomas alguno de esos, reemplazandolo en la ecuacion tambien te da que esta en el plano z=16 el extremo superior. Saludos.

    • dami dijo:

      Hola Emmanuel,
      No entiendo a que puntos te referís que te da al reemplazar que están en el plano z = 16 ?
      Intentá reformular tu pregunta o poner un ejemplo de como harías para ver si puedo entender lo que querés hacer.
      Saludos,
      Damián.

  3. Emmanuel dijo:

    Yo preguntaba si se podia calcular “la tapa” superior con los puntos (-2;0), (2;0), (0;-2), (0;2), reemplazando en la ecuacion
    z = 8x^2 +8y^2 -(x^2 + y^2)^2 . Reemplazando con alguno de esos cuatro puntos (que en el enunciado los pone como limites, extremos o el dominio no se exactamente como llamarlo) te da el plano z=16 y seria la altura del recipiente. Espero haber sido mas claro esta vez, disculpa mi vocabulario se que no es el correcto.
    Saludos y gracias por responder.

  4. Jesica dijo:

    Hola, Damian!
    Quería preguntarte el siguiente ejercicio que fue en septiembre de 2006, ya que tengo dificultad con los volumenes de los cuerpos.
    Calcule el vol de Dom natural del campo vectorial
    f(x,y) = ( (y-x^2)^1/2 , (x-y^2)^1/2, \ln(x- |z|) )

    Me dio el volumen igual a:
    \int_0^1 d\x \int_{x^2}^{x^1/2} d\y \int_{0}^{x-1} d\z = \-11/60

    Sinceramente no creo que este bien porque da un volumen negativo segun lo que estoy viendo en los planos proyectados.

    En donde estara el error?

  5. Jesica dijo:

    Era f(x,y) = ( (y-x^2)^(1/2) , (x-y^2)^(1/2), ln(x- |z|))

    \int_{0}^{1} d\x \int_{x^2}^{x^(1/2)} d\y \int_{0}^{x-1} d\z

    me dio -11/60 :S

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