Final 17/07/1996 Ej.1.b

Lunes, julio 27th, 2009

Calcule el flujo de f a través de la semiesfera de ecuación z = \sqrt{4-x^2-y^2} sabiendo que existe un campo g \in C^2 / f = rot(g) y que f(x,y,0) = (0,-y,1-x). Indique claramente en un gráfico la orientación de los versores normales que utiliza.

Lo primero que debemos notar es que si f es un campo de rotores, entonces div(f) = 0 (puesto que div(rot(g)) = 0)
Lo segundo es que el campo nos lo dan solamente en el plano xy, por lo tanto para calcular el flujo sobre la semiesfera no nos queda otra que emplear el teorema de la divergencia. La integral de la divergencia no hace falta hacerla porque va a dar 0 por lo mencionado anteriormente, y este sería el flujo total S + T = 0 (superficie + tapa). Ahora nos falta restarle la tapa, tomando la normal hacia afuera, que vendría a ser hacia abajo:
N = (0,0,-1)
f \cdot N = x-1
Pasamos a polares:
f \cdot N = \rho\cos(\phi) - 1
La integral sobre la tapa es:
\int_0^{2\pi} \cos(\phi) d\phi \int_0^2 \rho^2 d\rho - \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^2 \rho d\rho
= [\sin(\phi)]_0^{2\pi} [\frac{\rho^3}{3}]_0^2 - 4\pi
= -4\pi

Por lo tanto S = -T = 4\pi es el flujo pedido.
17_07_1996_ej1_b
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
parametric_surface(2*cos(u)*sin(v), 2*sin(u)*sin(v), 2*cos(v), u, 0, 2*%pi, v, 0, %pi/2),
color = "red",
vector([2*cos(0)*sin(%pi/4), 2*sin(0)*sin(%pi/4), 2*cos(%pi/4)],[1,0,1]/2)
);

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