Vamos a calcular el volumen y superficie
de una esfera
y relacionarlos con el volumen
y superficie
del cilindro
que contiene a dicha esfera.
Podemos parametrizar a la esfera de radio
como
con y
Un cilindro circular circunscrito en dicha esfera con la misma altura y diámetro tendría como ecuación:
con
Y podríamos parametrizarlo de la siguiente manera, separandolo en distintas tapas:
con
y
con
y
con
y
Ahora calculamos el volumen de la esfera integrando sobre la misma usando coordenadas esféricas:
Y el volumen del cilindro, usando coordenadas cilíndricas:
Por lo tanto la relación entre el volumen de la esfera y la del cilindro viene dada por:
Analicemos ahora el area de la esfera, para eso primero calculamos su elemento de área a partir de la norma del vector normal:
Por lo tanto el área de su superficie es:
Ahora veamos el area del cilindro, para las tapas usamos la fórmula conocida de area de un círculo , como son dos tapas sería
, que corresponderían a
y
Para el cilindro en sí () primero calculamos el elemento de área:
por lo tanto su área sería:
Finalmente, el área total del cilindro es:
Con lo cual, la relación entre el área de la esfera y la del cilindro viene dada por:
Es decir que una esfera tiene dos tercios del volúmen y área del cilindro que lo contiene. Fué el matemático griego Arquímedes el primero en mostrar esta relación hace mas de 2000 años.
El gráfico de la esfera y del cilindro que la contiene es:
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
parametric_surface(cos(u)*sin(v), sin(u)*sin(v), cos(v), u, 0, 2*%pi, v, 0, %pi),
color = "blue",
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), -1, u, 0, 1, v, 0, 2*%pi*0.85),
parametric_surface(cos(u), sin(u), v, u, 0 ,2*%pi*0.85, v, -1, 1),
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 1, u, 0, 1, v, 0, 2*%pi*0.85)
);
donde solo se graficó una sección del cilindro para que se pueda visualizar la esfera en su interior.