Volumen de una esfera dentro de un cilindro

Lunes, julio 13th, 2009

Vamos a calcular el volumen V_s y superficie A_s de una esfera S y relacionarlos con el volumen V_c y superficie A_c del cilindro T que contiene a dicha esfera.

Podemos parametrizar a la esfera S de radio r como

S(u,v) = (r\cos(\phi)\sin(\theta), r\sin(\phi)\sin(\theta), r\cos(\theta))
con 0 \leq \phi \leq 2\pi y 0 \leq \theta \leq \pi

Un cilindro circular T circunscrito en dicha esfera con la misma altura y diámetro tendría como ecuación:
x^2+y^2 = r^2 con -r \leq z \leq r

Y podríamos parametrizarlo de la siguiente manera, separandolo en distintas tapas:
T_1 = (\rho\cos(\phi), \rho\sin(\phi), -r) con 0 \leq \phi \leq 2\pi y 0 \leq \rho \leq r
T_2 = (r \cos(\phi), r \sin(\phi), z) con 0 \leq \phi \leq 2\pi y -r \leq z \leq r
T_3 = (\rho\cos(\phi), \rho\sin(\phi), r) con 0 \leq \phi \leq 2\pi y 0 \leq \rho \leq r

Ahora calculamos el volumen de la esfera integrando sobre la misma usando coordenadas esféricas:
V_s = \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi \sin(\theta) d\theta \int_0^r \rho^2 d\rho

= 2\pi \frac{r^3}{3} [-\cos(\theta)]_0^{\pi}
= \frac{4}{3} \pi r^3

Y el volumen del cilindro, usando coordenadas cilíndricas:
V_c = \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^r \rho d\rho \int_{-r}^{r} dz
= 4 \pi r \int_0^r \rho d\rho
= 4\pi r [r^2/2]_0^r
= 2 \pi r^3

Por lo tanto la relación entre el volumen de la esfera y la del cilindro viene dada por:
V_s / V_c = \frac{4}{3} \pi r^3 \frac{1}{2 \pi r^3} = \frac{2}{3}

Analicemos ahora el area de la esfera, para eso primero calculamos su elemento de área a partir de la norma del vector normal:

N_s = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ -r\sin(\phi)\sin(\theta) & r\cos(\phi)\sin(\theta) & 0 \\ r\cos(\phi)\cos(\theta) & r\sin(\phi)\cos(\theta) & -r\sin(\phi) \end{matrix} \right|
= (-r^2\cos(\phi)\sin^2(\theta), -r^2\sin(\phi)\sin^2(\theta), -r^2\sin^2(\phi)\sin(\theta)\cos(\theta) - r^2\cos^2(\phi)\sin(\theta)\cos(\theta))
= (-r^2 \cos(\phi) \sin^2(\theta), -r^2\sin(\phi)\sin^2(\theta), -r^2\sin(\theta)\cos(\theta))
|N_s| = \sqrt{r^4 \cos^2(\phi)\sin^4(\theta) + r^4 \sin^2(\phi)\sin^4(\theta) + r^4 \sin^2(\theta)\cos^2(\theta)}
= \sqrt{r^4 \sin^2(\theta)\sin^2(\theta) +r^2 \sin^2(\theta)\cos^2(\theta)}
= \sqrt{r^4 \sin^2(\theta)}
= r^2 \sin(\theta)

Por lo tanto el área de su superficie es:
A_s = r^2 \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi} \sin(\theta) d\theta
= 4 \pi r^2

Ahora veamos el area del cilindro, para las tapas usamos la fórmula conocida de area de un círculo \pi r^2, como son dos tapas sería 2 \pi r^2, que corresponderían a T_1 y T_3

Para el cilindro en sí (T_2) primero calculamos el elemento de área:
N_c = \left| \begin{matrix} i & j & k \\ -r\sin(\phi) & r\cos(\phi) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right|
= (r\cos(\phi), r\sin(\phi), 0)

|N_c| = \sqrt{r^2\cos^2(\phi) + r^2\sin^2(\phi)}
= \sqrt{r^2}
= r

por lo tanto su área sería:
A_{T_2} = r \int_0^{2\pi} d\phi \int_{-r}^r dz
= 4 \pi r^2

Finalmente, el área total del cilindro es:
A_c = A_{T_1} + A_{T_2} + A_{T_3} = 4\pi r^2 + 2 \pi r^2 = 6 \pi r^2

Con lo cual, la relación entre el área de la esfera y la del cilindro viene dada por:
A_s/A_c = 4 \pi r^2 \frac{1}{6 \pi r^2} = \frac{2}{3}

Es decir que una esfera tiene dos tercios del volúmen y área del cilindro que lo contiene. Fué el matemático griego Arquímedes el primero en mostrar esta relación hace mas de 2000 años.

El gráfico de la esfera y del cilindro que la contiene es:
arquimedes2
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-blue",
parametric_surface(cos(u)*sin(v), sin(u)*sin(v), cos(v), u, 0, 2*%pi, v, 0, %pi),
color = "blue",
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), -1, u, 0, 1, v, 0, 2*%pi*0.85),
parametric_surface(cos(u), sin(u), v, u, 0 ,2*%pi*0.85, v, -1, 1),
parametric_surface(u*cos(v), u*sin(v), 1, u, 0, 1, v, 0, 2*%pi*0.85)
);

donde solo se graficó una sección del cilindro para que se pueda visualizar la esfera en su interior.

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