Tp.8 Ej.13

Determine el volumen de un cuerpo cónico (cono circular recto) de altura h y ángulo de apertura w; ubíquelo en la posición mas conveniente para facilitar los cálculos.

La ecuación del cono sería:
z = h - k\sqrt{x^2 + y^2}

Pasamos a cilíndricas:
x = \rho \cos(\phi)
y = \rho \sin(\phi)
z = z
El jacobiano es \rho

La integral queda
\int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{h/k} \rho d\rho \int_0^{h-k\rho} dz
= 2\pi \int_0^{h/k} \rho h - k \rho^2 d\rho

= 2 \pi [\frac{\rho^2}{2} h - k \frac{\rho^3}{3}]_0^{h/k}
= 2\pi \frac{h^3}{2k^2} - k \frac{h^3}{3k^3}
= 2\pi \frac{h^3}{2k^2} - \frac{h^3}{3k^2}
= 2\pi h^3 (\frac{1}{2k^2} - \frac{1}{3k^2})
= 2\pi h^3 \frac{1}{6k^2}
= \frac{\pi h^3}{3} \frac{1}{k^2}

Si notamos que \tan(w) = \frac{1}{k} nos queda:
= \frac{\pi h^3}{3} \tan^2(w)

El gráfico del cuerpo cuando h=k=1 es
tp8_ej13_bis
load(draw);
draw3d(surface_hide = true,
xlabel = "x", ylabel = "y", zlabel = "z",
color = "light-red",
parametric_surface(u*cos(v),u*sin(v),1-u,u,0,4,v,0,2*%pi)
);

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